橢圓中的最值問題與定點、定值問題

1、橢圓中的最值問題與定點、定值問題 橢圓中的最值問題與定點、定值問題 解決與橢圓有關的最值問題的常用方法 解決與橢圓有關的最值問題的常用方法 （1）利用定義轉化為幾何問題處理； （2）利用數(shù)形結合，挖掘數(shù)學表達式的幾何特征進而求解； （3）利用函數(shù)最值得探求方法， 將其轉化為區(qū)間上的二次 函數(shù)的最值來處理， 此時應注意橢圓中 x、y 的取值范圍； （4）利用三角替代（換元法）轉化為 三角函數(shù)的最值問題處理。 一 、橢圓上一動點與焦點的距離

2、的最值問題 、橢圓上一動點與焦點的距離的最值問題 橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑， 橢圓上一動點與長軸的兩端點重合時， 動點與焦點取得最大值 a+c（遠日點） 、最小值 a-c（近日點） 。 推導：設點 ) , ( 0 0 y x P 為橢圓 ) 0 (1 2222? ? ? ? b a byax 上的任意一點，左焦點為 ) 0 , ( 1 c F ? ，2 020 1 ) ( | | y c x PF ? ? ? ，由1 22

3、022 0 ? ? byax 得 ) 1 ( 22 0 20 ax b y ? ? ，將其代入 2 020 1 ) ( | | y c x PF ? ? ? 并化簡得 a x ac PF ? ? 0 1 | | 。所以，當點 ) , ( 0 0 y x P 為長軸的右端點) 0 , ( 2 a A 重合時， a c a a ac PF ? ? ? ? ? max 1 | | ；當點 ) , ( 0 0 y x P 為長軸的左端點 ) 0

4、 , ( 1 a A ? 重合時。 c a a a ac PF ? ? ? ? ? ? ) ( | | min 1 。當焦點為右焦點 ) 0 , ( 2 c F 時，可類似推出。 1. （2015 浙江卷）如圖，已知橢圓1 222? ? y x 上兩個 不同的點 A、B 關于直線 21 ? ? mx y 對稱。 （1）求實數(shù) m 的取值范圍； （2）求 AOB ? 面積的最大值（O 為坐標原點） 。 解： （1）由題意知 0 ? m ，

5、可設直線 AB 的方程為 b x m y ? ? ? 1 。 聯(lián)立? ?? ??? ? ?? ?b x m yy x11 222，消 y 去，得 0 1 2 ) 121 ( 2 22 ? ? ? ? ? b x mb x m。 因為直線 b x m y ? ? ? 1 與橢圓1 222? ? y x 有兩個不同的交點， 所以 0 4 2 2 22 ? ? ? ? ? ? m b 。-------① 設 ) , ( ), , ( 2 2

6、1 1 y x B y x A ，線段 AB 的中點 ) , ( M M y x M ，則 242 2 1 ? ? ? mmb x x ， B A O x y 所以|AB|＝ ?x1－x2?2＋?y1－y2?2 ＝ 2?x1－x2?2＝ 2[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝ ? ?? ??? ?? ? ? 1 54254 2 22m m ＝25 10－8m2. 所以當 m＝0 時，|AB|最大，即被橢圓截得的弦最長，此時直線方程為

7、 y＝x. 反思與感悟 解析幾何中的綜合性問題很多， 而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題， 例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等.解決這類問題需要正確地應用轉化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合思想.其中應用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關系構造等式或函數(shù)關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件. 跟蹤訓練 2 如圖，點 A 是橢圓 C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短軸位于 y 軸下方的端點，過點

8、 A且斜率為 1 的直線交橢圓于點 B，若 P 在 y 軸上，且 BP∥x 軸，AB →· AP →＝9. (1)若點 P 的坐標為(0,1)，求橢圓 C 的標準方程； (2)若點 P 的坐標為(0，t)，求 t 的取值范圍. 解 ∵直線 AB 的斜率為 1，∴∠BAP＝45° ， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝ 2|AP →|. ∵AB →· AP →＝9， ∴|AB →||AP →|cos