破解橢圓中最值問題的常見策略

1、破解橢圓中最值問題的常見策略破解橢圓中最值問題的常見策略浬浦中學浬浦中學蔡明蔡明有關圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時的高考復習需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學中的一個難點。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、轉化與化歸等數(shù)學思想方法，將它轉化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值

2、的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圓中的常見最值問題進行分類破解。第一第一類：求離心率的最：求離心率的最值問題值問題破解策略之一：建立破解策略之一：建立的不等式或方程的不等式或方程cba例1：若為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使BA)0(12222????babyaxQ，0120??AQB求此橢圓離心率的最小值。分析：建立之間的關系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉cba化為邊的思想，但條件又不是與焦點有關，很難使用橢圓

3、的定義。故考慮使用到角公式轉化為坐標形式運用橢圓中的取值進行求解離心率的最值。yx解：不妨設，則，)()0()0(yxQaBaA?axykaxykBQAQ????利用到角公式及得：（），0120??AQB0120tan1???????axyaxyaxyaxyax??又點在橢圓上，故，消去，化簡得又即A22222ybaax???x2232caby?by?bcab?2232則，從而轉化為關于的高次不等式解得42223)(4ccaa??e04

4、4324???ee。136??e故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由36222233()abcab???303ba??，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結合求最值）21()bea??136??eyOxF2F1A2A1PM。26?m于是=又－6≤≤6解得=2。設橢圓上的點()到點M的距26?m6?mmmxy離d222222549(2)4420()15992dxyxxxx???????????由于－6≤≤6∴當=時d取得最小值mx2

5、915點評：對于此類最值問題關鍵是如何將點點之間的最值問題轉化成我們常見函數(shù)——二次函數(shù)的最值問題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉化破解策略之四：利用橢圓定義合理轉化例4：定長為的線段AB的兩個端點分別在橢圓ddba???????22上移動，求AB的中點M到橢圓右準線xaybab222210????()的最短距離。l解：解：設F為橢圓的右焦點，如圖作于A，AAl?BB⊥于B，MM⊥于M，則ll??edeABBFAFeeBFeAFB