淺淡中學(xué)數(shù)學(xué)中最值的求解畢業(yè)論文

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　題 目： 淺淡中學(xué)數(shù)學(xué)中最值的求解 </p><p>　　淺淡中學(xué)數(shù)學(xué)中最值的求解</p><p>　　摘要: 最值問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中的涉及較廣，應(yīng)用范圍較大，難度有難有易，利用最值的求解方法能夠更簡(jiǎn)潔清晰地解決一些問(wèn)題，但也會(huì)有一定的難度。本文介紹了12種求解的方法,其中二次函數(shù)法和判別式法

2、是中學(xué)范圍內(nèi)最常用的求最值問(wèn)題的方法，將它們拓展開來(lái)的不等式法、代換法還有幾何法也是在考試中較常見的考察知識(shí)點(diǎn)，另外更深層次的導(dǎo)數(shù)法、復(fù)數(shù)法，等等，是講高中內(nèi)容與大學(xué)內(nèi)容接軌,希望這些內(nèi)容能在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)對(duì)關(guān)于求解最值的問(wèn)題有一些小的幫助. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 最大值；最小值;極值；解法；定義域</p><p>　　The most value of solving shal

3、low light middle school mathematics</p><p>　　Abstract: the most value problems widely involved in the middle school mathematics application scope is larger, the difficulty trouble easily, using the value sol

4、ution method can resolve some problems more concise and clear, but also has the certain difficulty. 12 kinds of solving methods were introduced in this paper, the quadratic function method and discriminant method is a hi

5、gh school within the scope of the most commonly used to get the most value problem, they are broadening the inequality</p><p>　　Key words: The maximum; The minimum value; The extreme; Solutions；domain</p&

6、gt;<p>　　3 中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的最值問(wèn)題及解決方法`1</p><p>　　3.1 二次函數(shù)求解法1</p><p>　　3.2 導(dǎo)數(shù)求解法2</p><p>　　3.3 判別式求解法2</p><p>　　3.4 不等式求解法2</p><p>　　3.4.1 均值不等式求解

7、法2</p><p>　　3.4.2 柯西不等式求解法3</p><p>　　3.5 幾何求解法3</p><p>　　3.5.1 可視為距離的函數(shù)的最值求解4</p><p>　　3.5.2 可視為曲線截距的函數(shù)的最值求解4</p><p>　　3.6 代換求解法5</p><

8、;p>　　3.6.1 局部換元求解法5</p><p>　　3.6.2 三角代換求解法5</p><p>　　3.6.3 均值換元求解法6</p><p>　　3.7 構(gòu)造方差求解法6</p><p>　　3.8 復(fù)數(shù)求解法6</p><p>　　3.9 數(shù)形結(jié)合求解法7</p>

9、;<p>　　3.10 單調(diào)性求解法7</p><p>　　3.11 數(shù)列中的最值問(wèn)題求解8</p><p>　　3.12 三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解8</p><p>　　4 最值問(wèn)題求解方法小結(jié)9</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p>&

10、lt;b>　　致謝10</b></p><p><b>　　1． 引言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題是一種非常典型的問(wèn)題，無(wú)論是在學(xué)習(xí)或是日常生活中都是很常見的，在中學(xué)數(shù)學(xué)中尤其重要，占領(lǐng)著非常重要的地位。最值問(wèn)題幾乎在所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有涉及，所有就要求我們遇到最值問(wèn)題要熟練的求解，這樣就需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)的知識(shí)，綜合運(yùn)用各種技

11、能求解最值問(wèn)題，本篇文章就最值問(wèn)題求解方法做出了一些探究。</p><p>　　2． 最值定義的基本知識(shí)</p><p>　　一般的，函數(shù)最值分為函數(shù)最小值與函數(shù)最大值。</p><p>　　最小值：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我們稱實(shí)數(shù)M 是函數(shù)y=f(x)

12、的最小值。</p><p>　　最大值：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我們稱實(shí)數(shù)M 是函數(shù) y=f(x)的最大值。</p><p>　　3. 中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的最值問(wèn)題及解決方法</p><p>　　中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多相關(guān)的最值問(wèn)題，需要我們準(zhǔn)確判斷并給與解答，以

13、下是我結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或?qū)嶋H生活中的問(wèn)題，從十二個(gè)方面說(shuō)明最值問(wèn)題的相關(guān)計(jì)算及解決方法</p><p>　　3.1 二次函數(shù)求解法</p><p>　　遇到二次函數(shù)求解最值，我們需要做的第一步是觀察，看看是否需要配方，</p><p>　　如需要配方，我們先配方，然后再看看對(duì)稱軸，開口方向以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后判斷出它是否有最值。</p><p>

14、　　這種方法對(duì)于形如或者可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的都比較有用，求解時(shí)主要有以下兩種情況：</p><p>　　1．當(dāng)?shù)亩x域是R時(shí)，先配方，得到</p><p>　　當(dāng)時(shí) 開口朝上,有最小值,即，</p><p>　　當(dāng)時(shí) 開口朝下,有最大值,即,</p><p>　　2．當(dāng)?shù)亩x域是 時(shí)，我們先判斷開口方向，在得出對(duì)稱軸，看是否在定義域內(nèi)，

15、然后得出最值的判斷。</p><p>　　例1 求 在 內(nèi)的最值</p><p>　　解：配方得 此函數(shù)開口朝上，對(duì)稱軸為x=1，在定義域內(nèi)有最值，當(dāng)x=1，有最小值，y=1，當(dāng)x=4時(shí)，有最大值，y=19，因此函數(shù)有最值，最大值為y=19，最小值y=1.</p><p>　　3.2 導(dǎo)數(shù)求解法</p><p>　　利用導(dǎo)數(shù)求解高次

16、函數(shù)的最值，其具體求解步驟如下：</p><p><b>　　1．求導(dǎo) </b></p><p>　　2．求出 =0 的極值點(diǎn)，判斷是最大值還是最小值</p><p>　　3．將求的值及端點(diǎn)值帶入驗(yàn)證</p><p>　　4．得出極值，寫出極值</p><p>　　例2 求函數(shù) 在 上的最值

17、</p><p>　　解： 求導(dǎo) = ， 當(dāng)=0時(shí)，得 x= 或 x=，</p><p><b>　　則 ，，，，</b></p><p>　　因此函數(shù)的最大值為 ，函數(shù)的最小值為 。</p><p>　　3.3 判別式求解法</p><p>　　判別式法是中學(xué)數(shù)學(xué)求函數(shù)最值的常用方法之

18、一。若可以將函數(shù)的y轉(zhuǎn)化為系數(shù)得到一個(gè)的關(guān)于的二次函數(shù): 。在時(shí),由于為實(shí)數(shù),于是得到,由此可以判斷的取值范圍,從而可以確定所求函數(shù)的最值</p><p>　　例3 實(shí)數(shù)滿足 ,設(shè) ,則 的值為_______.</p><p>　　解:由題意知, ,故 </p><p>　　又 所以是方程 的兩個(gè)實(shí)根，于是</p><p>　　解得

19、 ，即 ，,所以</p><p>　　3.4 不等式求解法</p><p>　　3.4.1 均值不等式求解法</p><p>　　均值不等式是一種常用的求解最值的方法，均值不等式的定義是任取個(gè)數(shù)，當(dāng)然這里都要取整數(shù)，根據(jù)它們的算數(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)，來(lái)求出最值，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)是成立的；利用這種方法求解最值的時(shí)候,要充分滿足一正二定三等的條件。即“

20、正”是指它的每一項(xiàng)都是正數(shù)；“定”是指其中每項(xiàng)的和或積是定值；“等”是等號(hào)成立的條件.，如果不能滿足以上條件，那么就不能求出最值。</p><p>　　例4 已知 ，求 的最小值分析：我們看到所求式子的分母滿足 ，將其帶入所求式子，即可用均值不等式求解。</p><p>　　解： 因?yàn)?，所以 ，又因?yàn)?，</p><p><b>　　

21、所以 </b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng) ，即 或者 時(shí)，等號(hào)成立</p><p>　　故 的最小值為36。</p><p>　　3.4.2 柯西不等式求解法</p><p>　　近年來(lái)柯西不等式現(xiàn)在的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，對(duì)于求解最值越來(lái)越重要，需要我們重點(diǎn)的去掌握這種方法。</p><p>　

22、　設(shè)有兩組數(shù) 和 ，根據(jù)柯西不等式</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。</p><p>　　例5 已知 ，， ，求 的最大值。</p><p>　　解：因?yàn)?，所以 </p><p><b>　　則 </b></p><p>　　即 ，所以 的最大值為 </p>

23、<p>　　3.5 幾何求解法</p><p>　　在求解某些函數(shù)的最值時(shí)，有些問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)幾何形象比較明顯，我們就可以運(yùn)用它的圖象直觀性來(lái)簡(jiǎn)便求解。常用到的幾何知識(shí)有斜率公式、截距、點(diǎn)到直線的距離求法，以及結(jié)合圖象的一些含義來(lái)求解最值問(wèn)題．用幾何法求最值時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)應(yīng)用幾何知識(shí)來(lái)研究函數(shù)的最值問(wèn)題,會(huì)使靈活多變、復(fù)雜難解的函數(shù)最值問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化、淺顯化,讓我們能夠

24、輕松簡(jiǎn)便的求解函數(shù)最值問(wèn)題,從而激發(fā)學(xué)生的興趣,提高學(xué)生的綜合能力以及訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力.</p><p>　　3.5.1 可視為距離的函數(shù)的求解</p><p>　　例6 函數(shù)的最大值是_______。</p><p>　　解：將函數(shù)式變形,得</p><p>　　可知函數(shù)的幾何意義是：</p><p>　　拋

25、物線上的點(diǎn)分別到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之差，現(xiàn)在要求計(jì)算它們的最大值.</p><p>　　因?yàn)橹?，?dāng)在的延長(zhǎng)線上處時(shí)，取得最大值</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　3.5.2 可視為曲線截距的函數(shù)的最值求解</p><p>　　例7 求函數(shù)的最大值。</p><p>　　解:

26、 令,則,且.則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:</p><p>　　當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí),雙曲線族 (設(shè)為常數(shù))在軸上</p><p><b>　　計(jì)算的最大值.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí),由方程得</b></p><p><b>　　, </b></p><p>

27、;　　由此可知:當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), </p><p>　　所以此雙曲線族有公共的漸進(jìn)線和,有公共的中心</p><p>　　所以雙曲線族與圓的切點(diǎn)是 ,此時(shí)縱截距得到一個(gè)極大值 ，而,所以求得的極大值就是最大值.</p><p>　　因此,所求函數(shù)的最大值為</p><p>　　3.6 代換求解法</p><p>　

28、　3.6.1 局部代換求解法</p><p>　　局部代換法是一種將所求式子的部分用字母代替來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化求解最值的方法，這在數(shù)學(xué)中應(yīng)用越來(lái)越廣，需要我們熟練掌握。</p><p>　　例8 已知，求函數(shù)的最值</p><p><b>　　解：，令</b></p><p><b>　　則且，于是</

29、b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　注意：若函數(shù)中含有和時(shí)，可以考慮用換元法解。</p><p>　　3.6.2 三角代換求解法</p><p>　　三角代換求解法是一種運(yùn)用三角函數(shù)代替式子，來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化求解最值的目的。</p><p>　　例9

30、 已知，，求的最值</p><p>　　解：設(shè)，（t為參數(shù)）</p><p><b>　　因，故</b></p><p>　　故當(dāng)且時(shí)，,；當(dāng)時(shí)，</p><p>　　3.6.3 均值換元求解法</p><p>　　均值換元是將一為定值的式子通過(guò)分割，不改變其值，來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化求解的地步，&

31、lt;/p><p>　　例10 已知，求證：的最小值為．</p><p>　　證明：由于本題中、的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，根據(jù)其和為１，令，，()，則</p><p>　　所以的最小值為，在即時(shí)取得</p><p>　　3.7 構(gòu)造方差求解法</p><p>　　設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù) 它們的平均數(shù)為 ,則其方差為顯然 (當(dāng)且僅

32、當(dāng))。應(yīng)用這一公式 ,可簡(jiǎn)捷、巧妙地解決許多求解最值問(wèn)題。并且該方法適應(yīng)范圍廣，可用于求解多種情況下的最值。</p><p>　　例11 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求證：a=b.</p><p>　　證明：由題意知，a，b的方差是</p><p>　　又因?yàn)?，所以，于是由方差定義知a=b</p><p>　　3.8 復(fù)數(shù)求解法<

33、;/p><p>　　正復(fù)數(shù)最值問(wèn)題,通常包括模的最值、輻角主值的最值、面積最值等。此類問(wèn)題涉及知識(shí)面廣,靈活性大,需要我們重點(diǎn)掌握。復(fù)數(shù)的模的不等式 ：</p><p>　　例12 求函數(shù)的最小值。</p><p><b>　　解: 令</b></p><p><b>　　則 </b></p

34、><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)。</p><p>　　于是 即求得當(dāng)時(shí), </p><p>　　3.9 數(shù)形結(jié)合求解法</p><p>　　有些代數(shù)和三角問(wèn)題，若能借助幾何背景和幾何直觀求其最值，常能受到直觀明快，化難為易的效果。</p><p>　　例13 若關(guān)于x的方程的兩根都在-1和3之間，求k的取值

35、范圍。</p><p>　　解：令，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程</p><p>　　的解，由的圖像可知，要使兩根在-1和3之間，只需，同時(shí)成立，解得，故.</p><p>　　例14 求函數(shù)的最值.</p><p>　　解：先將函數(shù)式轉(zhuǎn)化成，我們可以先求的最值.</p><p>　　把看成，，，之間連線的斜率

36、，(可以看做單位圓上的點(diǎn))，</p><p>　　則當(dāng)直線為單位圓的切線時(shí)，其斜率取得最值.</p><p>　　設(shè)切線方程為，即 ．</p><p>　　則圓心到切線的距離為，解得：，．從而函數(shù)</p><p><b>　　最大值為；最小值為</b></p><p>　　3.10 單調(diào)性求解

37、法</p><p>　　3.10.1 利用多次“”(或“”)求最值</p><p>　　例15 求函數(shù)在，內(nèi)的最小值．</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，，．兩個(gè) “”中同時(shí)取得等號(hào)，因而 </p><p>　　3.10.2 形如的函數(shù)的最值</p>

38、;<p>　　(1)　，時(shí)，函數(shù)在，］內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞減，</p><p>　　在，］內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞增。</p><p>　　(2)　，時(shí)，函數(shù)在，］內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞增，</p><p>　　在，］內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞減。</p><p>　　(3)　，時(shí)，函數(shù)在，內(nèi)遞減，在，內(nèi)遞減。</p><p>　　

39、(4)　，時(shí)，函數(shù)在，內(nèi)遞增，在，內(nèi)遞增。</p><p>　　例16 求函數(shù)的最大值.</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　令，則，函數(shù)在，內(nèi)遞增．所以在，內(nèi)也是遞增的．當(dāng)，即時(shí)，.</p><p>　　3.11 數(shù)列中的最值問(wèn)題求解</p><p>　　正數(shù)列中的最

40、值問(wèn)題是高中數(shù)列中的一塊重要內(nèi)容,特別是近幾年的高考顯得尤為重要.大家知道,數(shù)列是一種特殊的函數(shù),因此,在處理數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),函數(shù)方法仍然是最基本也是最重要的方法。</p><p>　　例17 等差數(shù)列中, , ,問(wèn)數(shù)列到第幾項(xiàng)之和取得最大,并求出數(shù)值.</p><p>　　解：設(shè)公差為d，則由,可得.</p><p>　　于是,所以,到第14項(xiàng)之和最大,為19

41、6</p><p>　　3.12 三角函數(shù)最值問(wèn)題求解</p><p>　　三角函數(shù)的最值問(wèn)題一般都是關(guān)于正弦與余弦的問(wèn)題，因此我們要熟練掌握關(guān)于正弦與余弦的性質(zhì)及其轉(zhuǎn)換</p><p>　　例18知函數(shù)，.求:</p><p>　?。↖）最大值及取得最大值的自變量的集合；</p><p>　　(II) 函數(shù)的單調(diào)

42、增區(qū)間.</p><p><b>　　解：，</b></p><p>　　于是當(dāng),即時(shí), 取得最大值.</p><p>　　函數(shù)的取得最大值的自變量的集合為.</p><p>　　4 最值問(wèn)題求解方法小結(jié)</p><p>　　上述文字通過(guò)常見的最值問(wèn)題，采用十二種方法全面的解決最值問(wèn)題的求解，讓我

43、們直觀，清晰的了解到最值的求解，不會(huì)再出現(xiàn)遇到最值問(wèn)題束手無(wú)策，抓耳撓腮的現(xiàn)象，其方法大概如下</p><p><b>　　數(shù)形結(jié)合</b></p><p><b>　　配方法</b></p><p>　　直接法　均值不等式法</p><p><b>　　單調(diào)性</b><

44、/p><p>　　代數(shù)方法　　　　　導(dǎo)數(shù)法</p><p><b>　　判別式法</b></p><p><b>　　間接法</b></p><p><b>　　有界性</b></p><p><b>　　函數(shù)的圖像</b></p

45、><p><b>　　平面幾何知識(shí)</b></p><p>　　幾何方法　　　　　　線性規(guī)劃</p><p><b>　　解析幾何　斜率</b></p><p><b>　　兩點(diǎn)間距離</b></p><p>　　當(dāng)然，求解最值問(wèn)題的方法遠(yuǎn)不止這些，還有很多

46、，如復(fù)合函數(shù)法，放縮法，反函數(shù)法等等。遇到最值的問(wèn)題，我們需要具體問(wèn)題，具體分析，具體處理。不能盲目下結(jié)論，這樣對(duì)于求解最值是非常不利的，極易出錯(cuò)，因此我們遇到問(wèn)題需要仔細(xì)分析。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　霍夢(mèng)圓；王韻；函數(shù)最值的幾何解法[J]；高師理科學(xué)刊；2011年05期</p><p>　　張?jiān)氯A；

47、求函數(shù)最值常用的方法[J]；牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)；2011年03期</p><p>　　游波平；函數(shù)最值解法技巧探討[J]；重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）；2007年02期</p><p>　　王黎英；求函數(shù)最值的常用方法[J]；保山師專學(xué)報(bào)；2001年02期</p><p>　　鄭麗娜；最值的求法[J]；甘肅高師學(xué)報(bào)；2002年05期</p><

48、p>　　陳克勝；求函數(shù)最值的方法舉例[J]；高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）；2006年01期</p><p>　　馮米鴻；求復(fù)合三角函數(shù)最值時(shí)的幾何解法[J]；科技資訊；2008年22期</p><p>　　王宏梅；蔡明星；構(gòu)造平面向量 求解根式問(wèn)題[J]；數(shù)學(xué)教學(xué)；2006年06期</p><p>　　吳艷紅；談三角函數(shù)最值的求解[J]；中學(xué)生數(shù)理化（高中版 學(xué)

49、研版）；2011年02期</p><p>　　龍連風(fēng)；三角函數(shù)最值常見類型解析[J]；知識(shí)窗（教師版）；2011年06期</p><p>　　韓雪；均值不等式的應(yīng)用；林區(qū)教學(xué)[J]；2011年09期</p><p>　　王永艷；用均值不等式求函數(shù)最值的常用技巧[J]；高中數(shù)學(xué)教與學(xué)；2011年13期</p><p>　　解小軍；例析最值問(wèn)題解

50、法策略[J]；數(shù)理化解題研究（初中版）；2011年10期</p><p>　　裴光輝；求函數(shù)最值問(wèn)題的常用方法[J]；高中數(shù)學(xué)教與學(xué)；2011年12期</p><p>　　康美明；函數(shù)最值的幾種求法[J]；數(shù)學(xué)之友；2011年03期</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在此我要特別感謝我的論文指

51、導(dǎo)老師汪會(huì)玲老師，她不僅學(xué)識(shí)淵博，專業(yè)精通，而且她誨人不倦與同學(xué)們保持著良好的溝通并經(jīng)常給予科學(xué)的指導(dǎo)和熱心的勉勵(lì)。在每次論文遇到問(wèn)題時(shí)是汪老師不辭辛苦的講解才使得我的論文順利的進(jìn)行。從論文的選題到資料的搜集直至最后論文的修改整個(gè)過(guò)程中，花費(fèi)了汪老師很多的寶貴時(shí)間和精力。汪老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，開拓進(jìn)取的精神和高度的責(zé)任心都將使我受益終生!。在此，謹(jǐn)向汪老師表示崇高的敬意和最衷心的感謝!</p><p>　　四年大