破解橢圓中最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略

1、破解橢圓中最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略破解橢圓中最值問(wèn)題的常見(jiàn)策略浬浦中學(xué)浬浦中學(xué)蔡明蔡明有關(guān)圓錐曲線的最值問(wèn)題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類(lèi)難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。要解決這類(lèi)問(wèn)題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值

2、的思想來(lái)解決。本文通過(guò)具體例子，對(duì)橢圓中的常見(jiàn)最值問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)破解。第一第一類(lèi)：求離心率的最：求離心率的最值問(wèn)題值問(wèn)題破解策略之一：建立破解策略之一：建立的不等式或方程的不等式或方程cba例1：若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使BA)0(12222????babyaxQ，0120??AQB求此橢圓離心率的最小值。分析：建立之間的關(guān)系是解決離心率最值問(wèn)題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)cba化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓

3、的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中的取值進(jìn)行求解離心率的最值。yx解：不妨設(shè)，則，)()0()0(yxQaBaA?axykaxykBQAQ????利用到角公式及得：（），0120??AQB0120tan1???????axyaxyaxyaxyax??又點(diǎn)在橢圓上，故，消去，化簡(jiǎn)得又即A22222ybaax???x2232caby?by?bcab?2232則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式解得42223)(4ccaa??e04

4、4324???ee。136??e故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由36222233()abcab???303ba??，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）21()bea??136??eyOxF2F1A2A1PM。26?m于是=又－6≤≤6解得=2。設(shè)橢圓上的點(diǎn)()到點(diǎn)M的距26?m6?mmmxy離d222222549(2)4420()15992dxyxxxx???????????由于－6≤≤6∴當(dāng)=時(shí)d取得最小值mx2

5、915點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類(lèi)最值問(wèn)題關(guān)鍵是如何將點(diǎn)點(diǎn)之間的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)函數(shù)——二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4：定長(zhǎng)為的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓ddba???????22上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線xaybab222210????()的最短距離。l解：解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖作于A，AAl?BB⊥于B，MM⊥于M，則ll??edeABBFAFeeBFeAFB