定積分概念之?dāng)?shù)學(xué)定義

1、定積分概念之?dāng)?shù)學(xué)定義,北京師范大學(xué)珠海分校歐陽(yáng)順湘2004.12.6,抽象定積分概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型,求曲邊梯形的面積變力作功,一、求曲邊梯形的面積,(1)分割取近似：,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,,(2) 求和： 把n個(gè)小矩形的面積加起來(lái)。,,,二、變力作功,設(shè)質(zhì)點(diǎn) m 受力的作用沿 x 軸由點(diǎn) a 移動(dòng)至 b 點(diǎn),并設(shè) F 平行于 x 軸. 如果 F 是常量,則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為W=F(b-a)

2、如果力 F 不是常量,而是質(zhì)點(diǎn)所在位置的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功應(yīng)如何計(jì)算呢?,分割,在區(qū)間 [a,b] 內(nèi)任取 n-1 個(gè)分點(diǎn),當(dāng)各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都很小時(shí)，由于力F(x)的連續(xù)性，它在每個(gè)小區(qū)間上的變化不大，可以近似看作常量，即在Δx_i上任取一點(diǎn) ξ_i , 把該點(diǎn)處的力 F(ξ_i)當(dāng)作 Δx_i 上變力 F(x) 的近似值,近似求和－取極限,質(zhì)點(diǎn) m 從 x_i-1 位移到 x_i 時(shí)力 F(x) 所作的功 Δw_i 近似

3、為 ΔW_i ≈ F(ξ_i) Δx_i 從而， W ≈ Σ ΔW_i ≈ Σ F(ξ_i) Δx_i 再取極限。,§1.2 定積分的概念,定義(Definition):,,,,極限,存在。,記作：,,即,積分上限,積分下限,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,定積分的幾何意義,,定積分的幾何意義,,幾何意義：,§1.4

4、可積條件,定積分存在稱(chēng)為可積，否則稱(chēng)為不可積可積函數(shù)（integrable function）可積的必要條件；可積的充分條件。,必要條件,定理1 若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上有界。任何可積函數(shù)一定是有界的。無(wú)界的函數(shù)一定不可積。有界函數(shù)才可能可積，但不一定可積。,充分條件,定理2 若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，或單調(diào)函數(shù)或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)， 則f(x

5、)在[a,b]上可積。,閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可積,只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù),單調(diào)函數(shù)可積,推論：分段單調(diào)的連續(xù)函數(shù)也可積,黎曼積分,在高等微積分中，我們這里定義的積分稱(chēng)為黎曼積分這是為將同各種推廣的積分概念區(qū)分開(kāi)來(lái)也是為了紀(jì)念黎曼,黎 曼,1850年，給出了“黎曼積分”的定義，提出函數(shù)可積的概念黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作,（Riemann, 1826－1866，德國(guó)）,黎曼簡(jiǎn)介,黎曼是世界數(shù)

6、學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象。黎曼積分，黎曼幾何，黎曼猜想。。。,,柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的,,1850年，給出了“黎曼積分”的定義，提出函數(shù)可積的概念勒貝格在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集，這就完全解決了黎曼可積性的問(wèn)題,練習(xí)題,P110 1（1）,The End,,