第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

1、第五章,定積分,積分學(xué),,不定積分,定積分,,第一節(jié),一、定積分問(wèn)題舉例,二、 定積分的定義,三、 定積分的近似計(jì)算,定積分的概念及性質(zhì),第五章,四、 定積分的性質(zhì),一、定積分問(wèn)題舉例,1. 曲邊梯形的面積,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,,求其面積 A .,矩形面積,,,梯形面積,解決步驟 :,1) 大化小.,在區(qū)間 [a , b] 中任意插入 n –1 個(gè)分點(diǎn),,用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 常代變

2、.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,,為高的小矩形,,,,,,,,并以此小,矩形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,,3) 近似和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),,且,求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程 s.,解決步驟:,1) 大化小.,將它分成,在每個(gè)小段上物體經(jīng),2) 常代變.,得,已知速度,n 個(gè)小段,過(guò)的路程為,3) 近似和.,4) 取極限 .,上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:,

3、解決問(wèn)題的方法步驟相同 :,“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ”,所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:,特殊乘積和式的極限,二、定積分定義 (P225 ),任一種分法,任取,總趨于確定的極限 I ,,則稱此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,,,,即,此時(shí)稱 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可積 .,記作,,,,,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,,而與積分,變量用什么字母表示無(wú)關(guān) ,,即,定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積

4、,曲邊梯形面積的負(fù)值,,,,,,各部分面積的代數(shù)和,,可積的充分條件:,取,定理1.,定理2.,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),(證明略),例1. 利用定義計(jì)算定積分,解:,將 [0,1] n 等分, 分點(diǎn)為,,,,,,,,,,注,注,注. 當(dāng)n 較大時(shí), 此值可作為 的近似值,[注] 利用,得,,兩端分別相加, 得,即,,,,,,例2. 用定積分表示下列極限:,解:,,三、定積分的近似計(jì)算,根據(jù)定積分定義

5、,可得如下近似計(jì)算方法:,將 [a , b] 分成 n 等份:,,,,,,,,,1. 左矩形公式,,,,,,,,,例1,2. 右矩形公式,推導(dǎo),3. 梯形公式,4. 拋物線法公式,拋物線法公式的推導(dǎo),上作拋物線(如圖),,則以拋物線為頂?shù)男∏吿菪蚊娣e經(jīng)推導(dǎo)可得：,例3. 用梯形公式和拋物線法公式,解:計(jì)算yi(見(jiàn)右表),的近似值.,(取 n = 10, 計(jì)算時(shí)取5位小數(shù)),用梯形公式得,用拋物線法公式得,積分準(zhǔn)確值為,計(jì)算定積分,四

6、、定積分的性質(zhì),(設(shè)所列定積分都存在),( k 為常數(shù)),,證:,= 右端,證: 當(dāng),時(shí),,因,在,上可積 ,,所以在分割區(qū)間時(shí), 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) ,,于是,,當(dāng) a , b , c 的相對(duì)位置任意時(shí), 例如,則有,6. 若在 [a , b] 上,則,證:,推論1. 若在 [a , b] 上,則,推論2.,證:,即,7. 設(shè),則,例4. 試證:,證: 設(shè),即,故,即,8. 積分中值定理,則至少存在一點(diǎn),使,證:,則由性質(zhì)

7、7 可得,根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,,使,因此定理成立.,性質(zhì)7,說(shuō)明:,可把,故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.,,,積分中值定理對(duì),因,例5.,計(jì)算從 0 秒到 T 秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均,速度.,解: 已知自由落體速度為,故所求平均速度,內(nèi)容小結(jié),1. 定積分的定義,— 乘積和式的極限,2. 定積分的性質(zhì),3. 積分中值定理,,,矩形公式,梯形公式,,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,近似計(jì)算,拋物線法公式,思考與練習(xí),1.

8、 用定積分表示下述極限 :,解:,或,思考:,如何用定積分表示下述極限,提示:,,極限為 0 !,,2. P235 題3,3. P236 題13 (2) , (4),題13(4) 解:,設(shè),則,,,,,即,作業(yè),P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5),第二節(jié),,二、積分上限的

9、函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),三、牛頓 – 萊布尼茨公式,一、引例,第二節(jié),微積分的基本公式,第五章,一、引例,在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù),與速度函數(shù),之間有關(guān)系:,物體在時(shí)間間隔,內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為,這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .,,,,,二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),則變上限函數(shù),證:,則有,定理1. 若,說(shuō)明:,1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,2) 其他變限積分求導(dǎo):,同時(shí)為,通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開(kāi)辟了道路

10、.,例1. 求,,解:,原式,,說(shuō)明,例2.,確定常數(shù) a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c ≠0 , 故,又由,～,, 得,洛,洛,例3.,證明,,在,內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) .,證:,,只要證,,三、牛頓 – 萊布尼茨公式,( 牛頓 - 萊布尼茨公式),證:,根據(jù)定理 1,,故,因此,得,,定理2.,函數(shù) ,,則,或,例4. 計(jì)算,解:,,例5. 計(jì)算正弦曲線,的面積 .,解:,,例6. 汽車以每小時(shí) 36 km 的速度

11、行駛 ,,速停車,,解: 設(shè)開(kāi)始剎車時(shí)刻為,則此時(shí)刻汽車速度,剎車后汽車減速行駛 , 其速度為,當(dāng)汽車停住時(shí),,即,得,故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為,剎車,,問(wèn)從開(kāi)始剎,到某處需要減,設(shè)汽車以等加速度,車到停車走了多少距離?,內(nèi)容小結(jié),則有,1. 微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓 – 萊布尼茨公式,2. 變限積分求導(dǎo)公式,,,,作業(yè),第三節(jié),P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6

12、 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12,備用題,解：,1.,設(shè),求,定積分為常數(shù) ,,設(shè),, 則,,,故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .,2. 設(shè),證：,試證: 當(dāng),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,時(shí), ? = o( ? ) .,所以 ? = o( ? ) .,洛,3.,求,解: 由于,的遞推公式(n為正整數(shù)) .,因此,所以,其中,,二、定積分的分部積分法,第三節(jié),不定積分,一、定積

13、分的換元法,,換元積分法,分部積分法,,定積分,,換元積分法,分部積分法,定積分的換元法和,分部積分法,第五章,一、定積分的換元法,定理1. 設(shè)函數(shù),單值函數(shù),滿足:,1),2) 在,上,證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),,因此積分都存在 ,,且它們的原函數(shù)也存在 .,是,的原函數(shù) ,,因此有,則,,則,說(shuō)明:,1) 當(dāng)? < ? , 即區(qū)間換為,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .,3

14、) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即,或配元,配元不換限,,,例1. 計(jì)算,解: 令,則,∴ 原式 =,,,且,例2. 計(jì)算,解: 令,則,∴ 原式 =,,且,例3.,證:,(1) 若,(2) 若,,,偶倍奇零,,例4. 設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為T, 證明：,解: (1) 記,并由此計(jì)算,則,即,(2),,周期的周期函數(shù),則有,,二、定積分的分部積分法,定理2.,則,,證:,,,,,例5. 計(jì)算,解:,原式

15、 =,,,,例6. 證明,證: 令,n 為偶數(shù),n 為奇數(shù),則,令,則,,,,,,由此得遞推公式,于是,而,故所證結(jié)論成立 .,,,,,內(nèi)容小結(jié),基本積分法,,換元積分法,分部積分法,換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限,思考與練習(xí),1.,提示: 令,則,2. 設(shè),解法1.,,解法2.,對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),,,,思考:,若改題為,提示: 兩邊求導(dǎo), 得,,,得,3. 設(shè),求,解:,(分部積分),,作業(yè),P253 1 (4) ,

16、(10) , (16) ,(24) ; 3 ; 7 (4), (9), (10),習(xí)題課,備用題,1. 證明,證：,是以 ? 為周期的函數(shù).,是以 ? 為周期的周期函數(shù).,,證：,2.,右端,試證,分部積分,再次分部積分,= 左端,,,,,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,第四節(jié),常義積分,,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無(wú)窮限的反常積分,反常積分,(廣義積分),,反常積分,第五章,一、無(wú)

17、窮限的反常積分,引例. 曲線,和直線,及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,,定義1. 設(shè),若,存在 ,,則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分,,記作,這時(shí)稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,則定義,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.,并非不定型 ,,說(shuō)明: 上述定義中若出現(xiàn)

18、,它表明該反常積分發(fā)散 .,引入記號(hào),則有類似牛 – 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :,,,,例1. 計(jì)算反常積分,解:,思考:,分析:,原積分發(fā)散 !,注意: 對(duì)反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用,“偶倍奇零” 的性質(zhì),,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .,例2. 證明第一類 p 積分,證:當(dāng) p =1 時(shí)有,當(dāng) p ≠ 1 時(shí)有,當(dāng) p >1 時(shí)收斂 ; p≤1,時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p >1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為,當(dāng) p≤1

19、 時(shí), 反常積分發(fā)散 .,例3. 計(jì)算反常積分,解:,,,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,引例:曲線,所圍成的,與 x 軸, y 軸和直線,開(kāi)口曲邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,,定義2. 設(shè),而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,,存在 ,,這時(shí)稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,,若極限,數(shù) f (x) 在 [a , b] 上的反常積分,,則定義,則稱此極限為函,記作,若

20、被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類,說(shuō)明:,而在點(diǎn) c 的,無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,,無(wú)界點(diǎn)常稱,鄰域內(nèi)無(wú)界 ,,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) .,例如,,間斷點(diǎn),,而不是反常積分.,則本質(zhì)上是常義積分,,則定義,注意: 若瑕點(diǎn),計(jì)算表達(dá)式 :,則也有類似牛 – 萊公式的,若 b 為瑕點(diǎn), 則,若 a 為瑕點(diǎn), 則,若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則,則,,可相消嗎?,下述解法是否正確:,, ∴積分收斂,,例4. 計(jì)算反常積分,解: 顯然

21、瑕點(diǎn)為 a , 所以,原式,例5. 討論反常積分,的收斂性 .,解:,所以反常積分,發(fā)散 .,例6. 證明反常積分,證: 當(dāng) q = 1 時(shí),,當(dāng) q < 1 時(shí)收斂 ; q≥1,時(shí)發(fā)散 .,當(dāng) q≠1 時(shí),所以當(dāng) q < 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為,當(dāng) q ≥ 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .,例7.,解：,求,的無(wú)窮間斷點(diǎn),,故 I 為反常,積分.,,內(nèi)容小結(jié),1. 反常積分,,積分區(qū)間無(wú)限,被積函數(shù)無(wú)界,,,常

22、義積分的極限,2. 兩個(gè)重要的反常積分,,,說(shuō)明: (1) 有時(shí)通過(guò)換元 , 反常積分和常義積分可以互,相轉(zhuǎn)化 .,例如 ,,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),,應(yīng)劃分積分區(qū)間,,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.,(3) 有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分.,P260 題 1 (1) , (2) , (7) , (8),常積分收斂 .,注意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反,思考與練習(xí),其定義為,P260 1 (

23、4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3,第五節(jié),提示: P260 題2,求其最大值 .,作業(yè),備用題 試證,, 并求其值 .,解:,令,,習(xí)題課,一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法,二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法,定積分及其相關(guān)問(wèn)題,第五章,一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法,1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限,2. 用定積分性質(zhì)估值,3. 與變限積分有關(guān)的問(wèn)題,例1

24、. 求,解: 因?yàn)?時(shí),,所以,利用夾逼準(zhǔn)則得,1) 思考例1下列做法對(duì)嗎 ?,利用積分中值定理,不對(duì) !,且,,說(shuō)明:,2) 此類問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng) .,如, P270 題7,故沒(méi)理由認(rèn)為,解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和形式,已知,利用夾逼準(zhǔn)則可知,(1998考研),例2. 求,,思考:,提示:由上題,,故,練習(xí): 1.,求極限,解：,原式,2. 求極限,提示：,原式,左邊,= 右邊,例3.,估計(jì)

25、下列積分值,解: 因?yàn)?∴,即,例4. 證明,證: 令,則,令,得,故,例5.,設(shè),在,上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，,試證,都有不等式,證明：顯然,時(shí)結(jié)論成立.,(用積分中值定理),當(dāng),時(shí),,故所給不等式成立 .,,明對(duì)于任何,例6.,且由方程,確定 y 是 x 的函數(shù) , 求,解：方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得,令 x = 1, 得,再對(duì) y 求導(dǎo), 得,,故,,例7.,求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足,解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,

26、不妨設(shè) f (x)≠0,,則,,注意 f (0) = 0, 得,,例8. 求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程,解: 令,則,代入原方程得,兩邊求導(dǎo):,可見(jiàn) f (x) 應(yīng)為二次多項(xiàng)式 ,,設(shè),代入① 式比較同次冪系數(shù) , 得,故,①,,再求導(dǎo):,二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法,1. 熟練掌握定積分計(jì)算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算,,3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分,4. 有關(guān)定積分命題的證明方法,,思考: 下列作法是

27、否正確?,,例9. 求,解: 令,則,原式,,例10. 選擇一個(gè)常數(shù) c , 使,解: 令,則,因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使,即,可使原式為 0 .,例11. 設(shè),解:,,例12. 如圖, 曲線 C 的方程為,解:,是它的一,個(gè)拐點(diǎn),,線, 其交點(diǎn)為(2,4),,設(shè)函數(shù)f (x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,計(jì)算定,積分,直線 l1與 l2 分別是曲線C在點(diǎn)(0, 0)與(3, 2)處的切,,,(2005 考研),＝0,,,例13.

28、若,解: 令,試證 :,則,,,,因?yàn)?對(duì)右端第二個(gè)積分令,,綜上所述,例14. 證明恒等式,證: 令,則,,,因此,又,故所證等式成立 .,,,例15.,試證,使,,分析:,即證,,故作輔助函數(shù),,至少存在一點(diǎn),,即,證明: 令,在,上連續(xù),,在,至少,使,即,因在,上,連續(xù)且不為0 ,,從而不變號(hào),,因此,故所證等式成立 .,故由羅爾定理知 ,,存在一點(diǎn),思考: 本題能否用柯西中值定理證明 ?,如果能, 怎樣設(shè)輔助函數(shù)?,提示:

29、 設(shè)輔助函數(shù),例15,例16.,設(shè)函數(shù) f (x) 在[a, b] 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且,(1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) > 0 ;,(2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) ?, 使,(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 ? 相異的點(diǎn)? , 使,(2003 考研),證: (1),由 f (x)在[a, b]上連續(xù),,,知 f (a) = 0.,所以f (x),,在(a, b)內(nèi)單調(diào)增,,因此,(2) 設(shè),滿足柯西中