巧用定積分求極限(數(shù)學(xué)分析)

1、第1頁共1616頁定積分在求極限中的應(yīng)用定積分在求極限中的應(yīng)用1、知識(shí)準(zhǔn)備、知識(shí)準(zhǔn)備1.11.1緒論緒論微積分學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的地位.然而求極限又是微積分學(xué)中常常要面臨的問題.因此積累更多求極限的方法應(yīng)是每位大學(xué)生必備的素養(yǎng).求極限的方法層出不窮最常用的方法有極限的定義和性質(zhì)重要極限的結(jié)論洛必達(dá)法則以及泰勒公式等.應(yīng)用極限的定義時(shí)往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比較明顯只需要根據(jù)極限的定義把相關(guān)式子進(jìn)行放縮便可得到相應(yīng)的結(jié)果.但是

2、這種方法一方面敘述上比較麻煩另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴(yán)格也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達(dá)法則是用于解決“”型的極限和“”型極限的.00??泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運(yùn)算的問題通過泰勒展式后可以達(dá)到某些項(xiàng)抵消效果.但若仔細(xì)觀察這些方法其特點(diǎn)不是表達(dá)較繁瑣就是僅僅應(yīng)用到微分學(xué)知識(shí).事實(shí)上微分學(xué)和積分學(xué)的關(guān)系正如中小學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)過的加法與減法乘法與除法乘方與開方以及冪運(yùn)算與取對(duì)

3、數(shù)運(yùn)算的關(guān)系一樣他們互為逆運(yùn)算.倘若也能用到積分學(xué)知識(shí)來解決求極限的問題那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.1.1.2定積分的概念下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的定義:定積分定積分:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義在閉區(qū)間內(nèi)任意插入n1個(gè)分點(diǎn)將()fx??ab??ab分成n個(gè)區(qū)間記作乘積(稱??ab[]xiixx?(12iiixxxin?????）1[]iixx????()iifx??為積分元)把這些乘積相加得到和

4、式(稱為積分形式)設(shè)1()niiifx????若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是的分法??max:1ixin?????01lim()niiifx????????ab及分點(diǎn)的取法無關(guān)則稱這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分記作i?()fx??ab即.否則稱在上不可積.ba()fxdx?01()lim()nbaiiifxdxfx????????()fx??ab注1:由牛頓萊布尼茲公式知計(jì)算定積分與原函數(shù)有關(guān)故這里借助了不定積分的符號(hào).注2:若存在

5、區(qū)間進(jìn)行特殊分割分點(diǎn)進(jìn)行特殊的取法得到的和式()bafxdx???abi?極限存在且與定積分的值相等但反之不成立這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn)請(qǐng)讀者要真正第3頁共1616頁是由唯一確定的因?yàn)閷?duì)給定的若時(shí)能使得當(dāng)時(shí)有則N??100N?nN?||naa???或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實(shí)上在許多場合下最重101N?N要的是的存在性而不是它的值有多大.基于此在實(shí)際使用中的也不必限于自然數(shù)NN只要是正數(shù)即可而且把“”改為“”也無妨

6、.NnN?nN?函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)對(duì)于任意給定的正()fx0xA數(shù)(不論它有多么小)總存在某正數(shù)使得當(dāng)滿足不等式時(shí)對(duì)應(yīng)的函??x00xx????數(shù)值都滿足不等式那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限記()fx()fxA???A()fx0xx?為.00lim()()()xxfxAfxAxx????或當(dāng)可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限定義的思想是一致的都是相應(yīng)的某個(gè)表達(dá)上的值無限地接近某個(gè)常數(shù)值.不同的是數(shù)列是離散的

7、數(shù)列中的項(xiàng)在跳躍式地接近而函數(shù)是連續(xù)的函數(shù)值在逐漸地接近但二者都能與相應(yīng)的常數(shù)值以任意程度地接近.2、定積分與極限2.12.1定積分在求極限中應(yīng)用概述不難看出無論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限它們都與定積分的定義存在著千絲萬縷的關(guān)系那么就讓我們來揭曉它們之間玄機(jī)與奧秘吧.事實(shí)上定積分的定義中蘊(yùn)含著一列數(shù)｛｝的和并且只要充分地小和()iifx??ix?式就可以任意地接近確定的實(shí)數(shù)J=這正是極限思想的存在即1()niiifx????()bafx

8、dx?.這就為我們求極限提供了一種獨(dú)特而有力的方法——利1lim()J()nbiianifxfxdx?????????用定積分求極限.因?yàn)樵诜e分學(xué)中有大量的積分公式所以我們運(yùn)用之解決眾多類型的和式極限.2.22.2定積分求極限中應(yīng)用思想的形成先讓我們看一個(gè)簡單的例子:例1.求極限.111lim()122nJnnn???????…分析:此極限式的求解不容易直接用極限的定義解決因?yàn)樵摲ㄍ怯脕硪贿呌?jì)算一邊證明某個(gè)極限結(jié)果已經(jīng)比較明顯的問題