數(shù)學分析51

1、萊布尼茲(1646-1716),牛頓(1642-1727),,,牛頓的三大業(yè)績：,光譜分析，,萬有引力定理，,微積分學。,牛頓1665年（23歲）創(chuàng)造了流數(shù)法(微分學)，從力學觀點上獨立發(fā)現(xiàn)微積分。他的《流數(shù)法》寫于1671年，但直到死后9年的1736年才發(fā)表。,,,萊布尼茲于1694年進一步補充了積分結(jié)果。他創(chuàng)設(shè)的數(shù)學符號非常優(yōu)良，如微分符號積分符號等，對微積分的發(fā)展有極大影響，直到現(xiàn)在仍在使用。,,,萊布尼茨是在1673年到16

2、76年之間，從幾何學觀點上獨立發(fā)現(xiàn)微積分的。,,,因此牛頓始創(chuàng)微積分的時間比萊布尼茨大約早１０年，但從正式公開發(fā)表的時間說牛頓卻比萊布尼茨要晚。事實上，他們二人是各自獨立地建立了微積分。,,,一、問題的提出,1、瞬時速度問題,設(shè)運動物體的運動方程為 s = s(t), 則在 t 與 t0 之間平均速度,t0 時刻的（瞬時）速度,,,2、切線斜率問題,切線——割線的極限位置上的直線,,,,,,二、導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)定義:,注意,“導(dǎo)數(shù)為

3、?”時不可導(dǎo)，即導(dǎo)數(shù)不存在。,,,單側(cè)導(dǎo)數(shù)：,可導(dǎo)性是局部性質(zhì)。,導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,,,區(qū)間上可導(dǎo)性的定義,若 f(x) 在區(qū)間I的內(nèi)部處處可導(dǎo)，并且在 I所含的左（右）端點處右(左)導(dǎo)數(shù)存在，則稱 f(x) 在區(qū)間I上可導(dǎo)。,導(dǎo)函數(shù),,,,三、由定義求導(dǎo)數(shù),例1,解,,,例2,解,,,例3,解,下一節(jié)將證明：,,,例4,解,,,例6,解,,,例7,解,,,思考：,,,注意：,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,,,例8,解,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

4、得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,,,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,定理,證,證畢,,,注意: 該定理的逆定理不成立. 即 連續(xù) ? 可導(dǎo),,連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)舉例,★,,,,,y y=|x| O x,,,,,y y=f(x) O

5、 x,,,例9,解,,,例10,證明,由歸結(jié)原則，f(x0) 在x0 沒有極限，,從而不連續(xù)，,當然不可導(dǎo)。,,,六、極值,定義,極大值 (點) 與極小值 (點) 統(tǒng)稱為極值 (點) 。,極值是函數(shù)的局部性質(zhì)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,,,,,,,,,,,,,y=f(x),x,y,O,,,,x11,,x0,,,x12,,,,,例12 證明,證明

6、 1）,由保號性知,,,費馬定理：,穩(wěn)定點：,,,達布定理：（導(dǎo)函數(shù)的介值定理）,,,證：,證畢。,,,六、小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4.函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,,,6. 費馬定理、達布定理。,精品課件！,精品課件！,作 業(yè),P94. 3 4