二重積分的換元（變換） 計(jì)算二重積分時，由于某些幾分區(qū)域

1、二重積分的換元,主講人：汪鳳貞,六、二重積分的換元（變換） 計(jì)算二重積分時，由于某些幾分區(qū)域的邊界曲線比較復(fù)雜。僅僅將二重積分化為累次積分并不求出二重積分，就是定積分中的換元積分公式。在二重積分計(jì)算中也有相應(yīng)的換元法則。,定理3 若((x,y)在有界閉區(qū)域R連續(xù)，函數(shù)組 x=x(u,v),y =y(x,y）將uv坐標(biāo)面上的區(qū)域R一對一變換成xy坐標(biāo)面上的區(qū)域R且x=x( u,v），,,y=y（u,v）在 R’上存在連續(xù)偏

2、導(dǎo)數(shù)。（u,v ） R,有 則：,證：因?yàn)閒(x,y)在R 連續(xù)。所以可積。用任意分法T將 R分成n個小區(qū)域：R1,R2 ，…，Rn。又由于復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在R’ 連續(xù)，所以可積 。設(shè)其面積為,于是在R’上有對應(yīng)的分法T’，將R’分成n個小區(qū)域 R1’,……R’ ,設(shè)其面積為

3、 　 則根據(jù)函數(shù)行列式的幾何性質(zhì)，,又由已知得,于是積分和,再根據(jù)隱函數(shù)組確定的反函數(shù)組存在定理 知函數(shù)組 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。反函數(shù)組u=u(x,y)， v=v(x,y) 由連續(xù)知必一致連續(xù)。 因此當(dāng)分法T的細(xì)度||T|| 0時，分法T`的細(xì)度||T`||也趨于0。,對（*）式兩邊取極限||T||-0時，有||T`||-0。故有：,例１　求兩條拋物線與兩條直

4、線y= x，y= x 所圍成的區(qū)域Ｒ的面積Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０< <矩形域Ｒ‘：,,,,,,,,u,v,0,解：根據(jù)二重積分的性質(zhì)知：Ｓ＝　 　　作變換：ｕ＝ v=y/x則此函數(shù)組將ｘｙ做表面上Ｒ變換成ｕｖ平面上的矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝,根據(jù)定理3：,例2 ： 證明,,,其中R：|x|+|Y|<=1證明：如圖所示，R是

5、由直線X+Y=1。X+Y=-1，X-Y=1，X-Y=-1所組成。作變換得：u=x+y，v=x-y。則此函數(shù)組將xy面上的正方形R：|x|+|y|<=1，變換成uv面上的正方形R`：-1<=u<=1，-1<=v<=1。且,,,,x,y,,,-1,1,-1,1,x,y,o,o,2、事實(shí)上，若 P`（u0，v0） R`。使J(u0,v0)=0。 而在其他點(diǎn)上J=0。則在R`上作面積為