二重積分計(jì)算

1、,,特點(diǎn)：平頂.,柱體體積=？,特點(diǎn)：曲頂.,曲頂柱體,１．曲頂柱體的體積,一、問(wèn)題的提出,3.1 二重積分的概念與性質(zhì),第3章 重積分,播放,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示．,步驟如下：,用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,,,,,曲頂柱體的體積,,２．求平面薄片的質(zhì)量,,,將薄片分割成若干小塊，

2、,取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量,二、二重積分的概念,積分區(qū)域,積分和,被積函數(shù),積分變量,被積表達(dá)式,面積元素,對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：,二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．,當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．,在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，,,故二重積分可寫(xiě)為,則面積元素為,性質(zhì)１,當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，,性質(zhì)２,（二重積分與定積分有類(lèi)似的

3、性質(zhì)）,三、二重積分的性質(zhì),性質(zhì)３,對(duì)區(qū)域具有可加性,性質(zhì)４,若 為D的面積，,性質(zhì)５,若在D上,特殊地,則有,性質(zhì)６,性質(zhì)７,（二重積分中值定理）,（二重積分估值不等式）,如果積分區(qū)域?yàn)椋?其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,［X－型］,,,3.2 二重積分的計(jì)算,應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,,,,,,得,如果積分區(qū)域?yàn)椋?［Y－

4、型］,,,X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,若區(qū)域如圖，,,,,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,計(jì)算,其中 是由直線,和 所圍成的閉區(qū)域.,解,如圖,,既是 型,,又是 型.,若視為,型,,則,原式,計(jì)算,其中 是由直線,和

5、所圍成的閉區(qū)域.,解,若視為,型,,則,原積分,則,分次序?qū)χ胤e分的計(jì)算非常重要.,故合理選擇積,解,計(jì)算二重積分,其中 是由拋物線,及直線 所圍成的閉區(qū)域.,解,如圖,(見(jiàn)P141圖3-12),既是 型,,也是 型.,但易見(jiàn)選擇前者計(jì)算,較麻煩,,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來(lái)計(jì)算,,擇后者.,故選,計(jì)算二重積分,其中 是由拋物線,及直線

6、 所圍成的閉區(qū)域.,解,如圖,(見(jiàn)P141圖3-11),既是 型,,也是 型.,但易見(jiàn)選擇前者計(jì)算,較麻煩,,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來(lái)計(jì)算,,擇后者.,故選,計(jì)算二重積分,如圖,,且,所以,解,解,解,題設(shè)二次積分的積分限:,可改寫(xiě)為:,所以,交換二次積分,的積分次序.,解,題設(shè)二次積分的積分限:,可改寫(xiě)為,所以,原式,,,,,,,,,,二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,,,,,二重積分化為二次積分的公式（１