二重積分對稱性定理的證明及應用

1、目 錄摘 要…………………………………………………………………………………...…1關鍵詞…………………………………………………………………………………..……..1Abstract ………………………………………………………………………………..…1Keywords………………………………………………………………………………….1前言………………………………………………………………………………………...11．預備知識………

2、……………………………………………………………………….12．二重積分對稱性定理在不同條件下的證明及其應用…………………….…22.1 積分區(qū)域 關于坐標軸對稱………………………………………………………….2 D2.2 積分區(qū)域 關于坐標區(qū)域內任意直線對稱…………………………………….….5 D2.3 積分區(qū)域 關于坐標原點對稱………………………………………………….……9 D2.4 積分區(qū)域 關于坐標區(qū)域內任意一點對稱……………………

3、……………...……11 D2.5 積分區(qū)域 同時關于坐標軸和坐標原點對稱………………………………..…….12 D結束語…………………………………………………………………………………….12參考文獻……………………………………………………………………………...….132定理 定理 1若二重積分 滿足 ? ? 1 ( , )Df x y dxdy ??(1) 區(qū)域 可分為對稱的兩部分 和 ，對稱點 ， ； D 1 D 2 D P? 1

4、 D P?? 2 D(2) 被積函數在對稱點的值 與 相同或互為 ； ( ) f P ( ) f P? 相反數則 ．1( ) ( )( , ) 2 ( , ) ( ) ( )D Df P f Pf x y dxdy f x y dxdy f P f P? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ??0 , , 其中 的坐標根據 的對稱性的類型而確定． P? D2.1 積分區(qū)域 積分區(qū)域 關

5、于坐標軸對稱 關于坐標軸對稱 D2.1.1 積分域 關于ｘ軸對稱， 為 上的連續(xù)函數 D ( , ) f x y D定理 定理 2 如果積分域 關于 軸對稱， 為 的奇偶函數，則二重積分 D x ( , ) f x y y，1( , ) ( , )( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )D Df x y f x yf x y dxdy f x y dxdy f x y f x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???

6、 ??0 ，，其中 為 在 軸的上半平面部分． 1 D D x證明 證明 (1)1 2( , ) ( , ) ( , )D D Df x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy ? ? ?? ?? ??若區(qū)域 對稱于 軸 圖 ，對任意 ，其對稱點 D x ( 1 ) ( , ) P x y ? 1 D ( , ) P x y ? ? ? 2 D， ，令