與球有關(guān)的切、接問題有答案

1、1與球有關(guān)的切、接問題1球的表面積公式：S＝4πR2；球的體積公式V＝πR3432與球有關(guān)的切、接問題中常見的組合：(1)正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，SE為正四面體的高，在截面三角形SDC內(nèi)作一個(gè)與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性，內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時(shí)，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝a，CE＝a，則有R＋r＝a，R2－

2、r2＝|CE|2＝，解得233323a23R＝a，r＝a.64612(2)正方體與球：①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，如圖所示設(shè)正方體的棱長為a，則|OJ|＝r＝(r為內(nèi)切球半徑)a2②與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，則|GO|＝R＝a.22③正方體的外接球：截面圖為正方形ACC1A1的外接圓，則|A1O|＝R′＝a.32(3)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相

3、等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心即三棱錐A1AB1D1的外接球的球心和正方體ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合如圖，設(shè)AA1＝a，則R＝a.32②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心R2＝＝(l為長方體的體對(duì)角線長)a2＋b2＋c24l243球也就是原正方體的外接球，要求的直徑就是正方體的體對(duì)角線；∴2R＝2(R為球的半

4、3徑)，∴R＝，∴球的體積V＝πR3＝4π.3433答案：4π3角度四：四棱錐的外接球4(2014大綱卷)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A.B16πC9πD.81π427π4解析：選A如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，∵正四棱錐PABCD中AB＝2，∴AO′＝.2∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得2R＝，∴

5、該球的表面積為4πR2＝4π2＝，故選A.94(94)81π4[類題通法]“切”“接”問題的處理規(guī)律1“切”的處理解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作2“接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑[牛刀小試]1(2015云南一檢)如果一個(gè)