個人精心整理!高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽平面幾何四大定理~及考綱

1、1、數(shù)學(xué)競賽考綱二試二試1、平面幾何基本要求：掌握高中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補充要求：面積和面積方法。幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點重心。幾何不等式。簡單的等周問題。了解下述定理：在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。在

2、面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。幾何中的運動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)方法、向量方法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。2、代數(shù)在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對值的函數(shù)的圖像。三倍角公式，三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單的函數(shù)方程。n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。復(fù)數(shù)

3、的指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根的應(yīng)用。圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡單的組合恒等式。一元n次方程（多項式）根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實系數(shù)方程虛根成對定理。簡單的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點及其性質(zhì)。3、立體幾何多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。正多面體，歐拉定理。體積證法。截面，會作

4、截面、表面展開圖。4、平面解析幾何直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表示的區(qū)域。三角形的面積公式。圓錐曲線的切線和法線。圓的冪和根軸。5、其它抽屜原理。容斥原理。極端原理。集合的劃分。覆蓋。梅涅勞斯定理托勒密定理西姆松線的存在性及性質(zhì)(西姆松定理)。賽瓦定理及其逆定理。證明：證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅涅勞斯定理第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取

5、一點O，且EDF共線，則（sin∠AOFsin∠FOB)(sin∠BODsin∠DOC)(sin∠COEsin∠AOE)=1。(O不與點A、B、C重合)梅涅勞斯球面三角形定理梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三邊弧AB，弧BC，弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于PQR三點，那么(sin弧APsin弧PB)(sin弧BQsin弧QC)(sin弧CRsin弧RA)=1[※意義意義使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算

6、，其逆定理還是可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。2.2.賽瓦定理賽瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則(BDDC)(CEEA)(AFFB)=1※推論推論利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)(BE:EC)

7、(CF:FA)=[(CDcotA）[(CDcotB）][(AEcotB)(AEcotC)][(BFcotC)[(BFcotA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點?？捎萌叨ɡ碜C明的其他定理三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5DE分別為BCAC中點所以BD=DCAE=EC所以BDDC=1CEEA=1且因為AF=BF所以AFFB必等于1，所以三角形三條中線交于一點，即為重心用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點此外，可用定比分點