高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何講座第4講--四點(diǎn)共圓問(wèn)題

1、第1頁(yè)共4頁(yè)第四講第四講四點(diǎn)共圓問(wèn)題四點(diǎn)共圓問(wèn)題“四點(diǎn)共圓”問(wèn)題在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類問(wèn)題一般有兩種形式：一是以“四點(diǎn)共圓”作為證題的目的，二是以“四點(diǎn)共圓”作為解題的手段，為解決其他問(wèn)題鋪平道路.判定“四點(diǎn)共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材《幾何》二冊(cè)所介紹的兩種（即P89定理和P93例3），由這兩種基本方法推導(dǎo)出來(lái)的其他判別方法也可相機(jī)采用.1“四點(diǎn)共圓”作為證題目的例1給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延

2、長(zhǎng)線交于M，N.以AC為直徑的圓與AC邊的高BB′及其延長(zhǎng)線將于P，Q.求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共圓.(第19屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)PQ，MN交于K點(diǎn)，連接AP，AM.欲證M，N，P，Q四點(diǎn)共圓，須證MKKN＝PKKQ，即證(MC′KC′)(MC′KC′)＝(PB′KB′)(PB′KB′)或MC′2KC′2=PB′2KB′2.①不難證明AP=AM，從而有AB′2PB′2=AC′2MC′2.故MC′2PB′2=AB′2AC′2=(A

3、K2KB′2)(AK2KC′2)=KC′2KB′2.②由②即得①，命題得證.例2A、B、C三點(diǎn)共線，O點(diǎn)在直線外，O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O3四點(diǎn)共圓.(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：作出圖中各輔助線.易證O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.觀察△OBC及其外接圓，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.觀察△OCA及其外21接圓，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA

4、.21由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圓.?利用對(duì)角互補(bǔ)，也可證明O，O1，O2，O3四點(diǎn)共圓，請(qǐng)同學(xué)自證.ABCKMNPQB?C?ABCOOOO123￡￡第3頁(yè)共4頁(yè)∠AICB=90∠ADB=902121∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四點(diǎn)?共圓.同理，A，D，IB，IC四點(diǎn)共圓.此時(shí)∠AICID=180∠ABID=180∠ABC，21∠AICIB=180∠ADIB=180∠ADC，21∴∠AICID∠AICI

5、B=360(∠ABC∠ADC)21=360180=270.21故∠IBICID=90.同樣可證IAIBICID其它三個(gè)內(nèi)角皆為90.該四邊形必為矩形.(4)計(jì)算例6正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝2.P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且∠OPB=45，PA:PB=5:14.則PB=__________(1989，全國(guó)初中聯(lián)賽)分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？連接OA，OB.易知O，P，A，B四點(diǎn)共圓，有∠APB=∠AOB=90.故PA

6、2PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷).(1978，全國(guó)高中聯(lián)賽)分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)至少必落在正方形的三條邊上，所以不妨令F，G兩點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上.作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點(diǎn)共圓∠KDE=∠KGE=60