一般實(shí)系數(shù)三次方程謝國(guó)芳求根公式的推導(dǎo)方法1（從卡丹公式出發(fā)的推導(dǎo)）

1、Page112一般實(shí)系數(shù)三次方程的簡(jiǎn)明新求根公式和判別法——謝國(guó)芳Email:roixie@目次1.一般三次方程的簡(jiǎn)化2.簡(jiǎn)約三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推導(dǎo)3.卡丹公式的缺陷和簡(jiǎn)約實(shí)系數(shù)三次方程的新求根公式和判別法4.一般實(shí)系數(shù)三次方程的新求根公式和判別法1一般三次方程的簡(jiǎn)化對(duì)于一般形式的三次方程兩邊同除以，即可化為首320axbxcxd????(0)a?a項(xiàng)系數(shù)為1的三次方程320bcdxxxaaa????然后作變量代

2、換（1）3bxya??可消去二次項(xiàng)，將它化為下面的形式：（2）30ypyq???其中.（3）2233bacpa=323922727abcbadqa????下面我們把形如式（2）的三次方程稱為簡(jiǎn)約三次方程.2簡(jiǎn)約三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推導(dǎo)在方程（2）中，設(shè)（4）ymn??代入并展開整理后得到Page312（9）3232331232322332232232333()()()()232232()()()()232232()

3、()()()232232qpqqpqyMNqpqqpqyMNqpqqpqyMN?????????????????????????????????????????????????這正是著名的卡丹（J.Cardan，也譯作卡當(dāng)或卡爾丹、卡爾達(dá)諾）公式.3卡丹公式的缺陷和簡(jiǎn)約實(shí)系數(shù)三次方程的新求根公式和判別法卡丹公式在理論上解決了三次方程的求解問題，可以說是一個(gè)在數(shù)學(xué)史上赫赫有名、意義非凡的公式，但在實(shí)際應(yīng)用中卻遭受“冷遇”，雖然它是一個(gè)精確

4、的求根公式，但在實(shí)際應(yīng)用中人們往往寧可采用其他近似的數(shù)值方法（如二分法、牛頓切線法和各種迭代法等）而不愿意用它來求解三次方程，造成這一奇怪現(xiàn)象的原因在很大程度上不能不歸咎于卡丹公式本身。作為三次方程的求根公式，卡丹公式確實(shí)存在不少缺陷，大致說來有下面這幾個(gè)方面：第一，它僅僅是針對(duì)沒有二次項(xiàng)的三次方程的求根公式，對(duì)于一般形30xpxq???式的三次方程，需要經(jīng)過變換從先求出相應(yīng)參數(shù)的值320axbxcxd????abcdpq后才能套用公式

5、求解，顯然，這在實(shí)際應(yīng)用中是很不方便的.（拿二次方程的情形作類比，卡丹公式相當(dāng)于僅僅是沒有一次項(xiàng)的二次方程的求根公式，而對(duì)于一般形式的20xp??二次方程，人們必須自行設(shè)法變換到的形式后才能求解.）20axbxc???20xp??第二，即使限于沒有二次項(xiàng)的三次方程，卡丹公式的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和冗長(zhǎng)30xpxq???笨重的表達(dá)式也令人望而生畏，特別是對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)值，由于需要反復(fù)地乘方開方，計(jì)算相當(dāng)繁復(fù).第三，當(dāng)時(shí)[1]，雖然這時(shí)候方程的三個(gè)根