楊輝三角的規(guī)律以及推導公式

1、楊輝三角的規(guī)律以及定理李博洋摘要摘要楊輝三角中的一些規(guī)律關鍵詞關鍵詞楊輝三角冪二項式引言引言楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家。在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來對“楊輝三角”的規(guī)律進行探討和研究。內(nèi)容1二項式定理與楊輝三角與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，即二項式定理。楊輝三角我們首先從一

2、個二次多項式(ab)2的展開式來探討。由上式得出：(ab)2＝a22abb2此代數(shù)式的系數(shù)為：121則(ab)3的展開式是什么呢？答案為：a33a2b3ab2b3由此可發(fā)現(xiàn)，此代數(shù)式的系數(shù)為：1331但似乎沒有什么規(guī)律，所以讓我們再來看看(ab)4的展開式。展開式為：a44a3b6a2b24ab3b4由此又可發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的系數(shù)為：14641似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列：1(110)11(111)121(112)133

3、1(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二項式定理的公式為：(ab)n=C(n0)a^nb^0C(n1)a^(n1)b^1...C(nr)a^(nr)b^r...C(nn)a^0b^n因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結合帶進了計算數(shù)學。求二項式展開式系數(shù)的問題，實際上是一種組合數(shù)的計算問題。用系數(shù)通項公式來計算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計算，稱作“圖

4、算”。151010511615201561由上面可得：楊輝三角中n行中的第i個數(shù)是i1中前n1個數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、…、(n3)中第n行之前的數(shù)字之和、1?？偨Y楊輝三角對于我們好理解的規(guī)律，如下六點：1、每個數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。2、每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大。3、第n行的數(shù)字有n1項。4、第n行數(shù)字