點(diǎn)到直線的距離公式的七種推導(dǎo)方法

1、點(diǎn)到直線的距離公式的七種推導(dǎo)方法已知點(diǎn)直線求點(diǎn)P到直線l的距離。（因?yàn)樘厥庵本€很容易求距00()Pxy:0(00)lAxByCAB?????離，這里只討論一般直線）一、一、定義法定義法證：根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線的距離是點(diǎn)P到直線的垂線段的長，如圖1，ll設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線為，垂足為Q，由可知的斜率為llll?lBA的方程：與聯(lián)立方程組l?00()ByyxxA???l解得交點(diǎn)2200002222()BxAByACAyABxBCQABAB??

2、????2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()BxAByACAyABxBCPQxyABABAxAByACByABxBCABABAAxByCBAxByCAxByCABABAB????????????????????????????????0022|||AxByCPQAB?????二、二、函數(shù)法函數(shù)法證：點(diǎn)P到直線上任意一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)P到

3、直線的距離。在上取任意點(diǎn)用lll()Qxy兩點(diǎn)的距離公式有，為了利用條件上式變形一下，配湊系數(shù)處理得：0AxByC???22220022222222000022000022000022000022()[()()]()B()()B()[()B()][()B()][()B()](B)(B0)|B|()()ABxxyyAxxyyAyyxxAxxyyAyyxxAxxyyAxyCAxyCAxyCxxyyAB????????????????????

4、??????????????????當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以最小值就是00()BAyyx???（x）0022||AxByCdAB????三、不等式法三、不等式法證：點(diǎn)P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離的最小值就是點(diǎn)P到直線的距離。由柯西不等式：l()xyl222222000000()[()()][()B()](B)ABxxyyAxxyyAxyC???????????22000022|B|B0()()AxyCAxyCxxyyAB???????????

5、?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以最小值就是00()BAyyx???（x）0022||AxByCdAB????四、轉(zhuǎn)化法四、轉(zhuǎn)化法證：設(shè)直線的傾斜角為過點(diǎn)P作PM∥y軸交于Ml?l顯然所以11()xy10xx?01AxCyb???0000||||||AxCAxByCPMyBB???????易得∠MPQ＝（圖2）或∠MPQ＝（圖3）?0180??2圖yxPQlMyxPQl3圖MyxPQl1圖l附：方案一：設(shè)點(diǎn)P到直線的垂線段為PQ，垂足為Q，由PQ⊥

6、可知，直ll線PQ的斜率為（A≠0），根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線PQ的方AB程，并由與PQ的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；由此根據(jù)兩點(diǎn)距離l公式求出｜PQ｜，得到點(diǎn)P到直線的距離為d新疆學(xué)案王新敞l方案二：設(shè)A≠0，B≠0，這時(shí)與軸、軸都lxy相交，過點(diǎn)P作軸的平行線，交于點(diǎn)；作軸的xl)(01yxRy平行線，交于點(diǎn)，l)(20yxS由得.?????????0020011CByAxCByxABCAxyACByx??????0201所以，｜PＲ｜＝｜｜＝1