哈工程振動與波習(xí)題課

1、振動與波的教學(xué)要求 1. 掌握諧振動的基本特性及描寫諧振動的基本物理量以及它們的物理意義。熟練掌握利用旋轉(zhuǎn)矢量的方法解決諧振動的問題。 2.理解諧振動中的能量轉(zhuǎn)換過程，了解振動能量與振幅的關(guān)系。 3.了解阻尼振動，受迫振動及共振動現(xiàn)象。 4.熟練掌握同方向同頻率諧振動的合成。了解不同頻率同方向振動的合成，利用垂直振動的合成求未知信號的頻率。 5.熟練掌握平面簡諧波方程及方程中各物理量的意義。掌握波

2、動中能量的傳播和變化，會導(dǎo)出平均能流密度的公式，比較波動能量和振動能量之間的異同。 6.熟練掌握干涉現(xiàn)象及相干波的條件。掌握形成駐波的條件及駐波的波動方程，理解駐波與行波的區(qū)別。7.掌握多普勒效應(yīng)。,,一、基本概念,1、振幅：振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值.,2、周期：振動物體完成一次完整振動所需要的時間.,3、頻率：單位時間內(nèi)振動物體完成完整振動的次數(shù).,4、相位：表示諧振動狀態(tài)的最重要的物理量.,5、波長：振動

3、相位相同的兩個相鄰波陣面之間的距離 是一個波長.,6、波速：單位時間某種一定的振動狀態(tài)(或振動相位) 所傳播的距離.,7、平均能量密度：能量密度的平均值.,8、平均能流密度：能流密度的平均值。,二、基本規(guī)律,1、簡諧振動的動力學(xué)方程,2、簡諧振動的運動方程,3、由初始條件確定,4、簡諧振動的能量,5、同方向、同頻率簡諧振動的合成：,6、一維簡諧波的波動方程：,7、波的干涉：頻率相同、振動方向相同、初位

4、相差恒定。,8、駐波：,振幅相同、在同一直線上沿相反方向傳播的兩列相干波，時疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象.,9、多普勒效應(yīng)：,三、基本題型,1、已知運動方程求相應(yīng)物理量。,2、會證明簡諧振動的方法，并求出諧振動的周期。,3、已知一些條件給出諧振動的運動方程。,4、已知波動方程求相應(yīng)物理量。,5、已知一些條件給出波動方程。,6、能解決波的干涉問題。,7、能解決能量問題。,二、典型例題,1、一木板在水平面上作簡諧振動,振幅是12cm,在距

5、平衡位 置6cm處速度是24cm/s。如果一小物塊置于振動木板上, 由于靜磨擦力的作用,小物塊和木板一起運動(振動頻率 不變),當木板運動到最大位移處時,物塊正好開始在木板 上滑動,問物塊與木板之間的靜摩擦系數(shù)?為多少?,1、已知簡諧振動，求出物理量,解：,2、一倔強系數(shù)為k的輕彈簧，其上端與一質(zhì)量為m的平板A相連，且板靜止。今有一質(zhì)量也為m的物體自距A為h高處自由落下，與A發(fā)生完全非彈

6、性碰撞。試證明碰撞后系統(tǒng)作簡諧振動并給出該振動的振動方程。,2、會證明簡諧振動，能求出諧振動的周期并給出振動方程,解：,m作加速直線運動,m與A作完全非彈性碰撞,2m作簡諧振動,（1）機械能守恒,（2）動量守恒,（3）證明：,確定坐標及坐標原點,其中：,利用初始條件：,3、兩個完全相同的輪相向高速旋轉(zhuǎn)，軸在同一平面上， 間距d=10cm，板與輪間的摩擦系數(shù)? =0.25， （1）求證：此振動為簡諧振動； （2）求

7、出該振動的振動周期。,解：,F=fA-fB=?NA- ? NB= - 2 ? Mgx/d=Ma,力矩平衡 NAd=Mg(d/2-x) NBd=Mg(d/2+x),4、一勻質(zhì)細圓環(huán)的半徑為R，掛在墻上的釘子上，證明該物體的擺動為簡諧振動的條件，并給出擺動的周期。,作業(yè)23. 如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端系以輕繩，輕繩繞過滑輪連接一質(zhì)量為 m的物體，繩在輪上不打滑，使物體上下自由振動。已知彈簧的

8、倔強系數(shù)為k，滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量J。（1）證明物體作簡諧振動；（2）求物體振動周期；（3）設(shè)t=0時，彈簧無伸長，物體無初速，寫出物體的振動方程。,作業(yè)24. 一物體作簡諧振動,其速度最大值vm=3cm/s,其振幅A=2cm.若t=0時,物體位于平衡位置且向x軸的負方向運動。求：（1）振動周期;（2）加速度的最大值;（3）振動方程的表達式。,作業(yè)33. 勁度系數(shù)分別為K1和K2的兩根輕彈簧和質(zhì)量為的物體相連，如圖所示，試寫出物體

9、的動力學(xué)方程并求該振動系統(tǒng)的周期。,,5、1. 一物體同時參與同一直線上的兩個簡諧振動：x1 = 0.03cos ( 4 ? t + ? /3 ) (SI) 與 x2 = 0.05cos ( 4 ? t－2?/3 ) (SI)求合成振動的振動方程為.,能解決諧振動的合成問題。,m,作業(yè)26. 兩個同方向的簡諧振動的振動方程分別為 x1=0.04cos2π(t+1/8) (SI) x2=0.0

10、3cos2π(t+1/4) (SI)求：合振動方程。,,4、已知波動方程求相應(yīng)物理量。,6、一橫波沿繩子傳播，其波的表達式為 (SI)(1) 求此波的振幅

11、、波速、頻率和波長． (2) 求繩子上各質(zhì)點的最大振動速度和最大振動加速度． (3) 求x1 = 0.2 m處和x2 = 0.7 m處二質(zhì)點振動的相位差．,(1)A = 0.05 m， ? = 50 Hz， ?= 1.0 m u = 50 m/s,(2) 15.7m /s 4.93?103m/s2,(3),5、已知一

12、些條件給出波動方程。,作業(yè)27. 已知一沿x 軸負方向傳播的平面余弦波，在t=1/3s時的波形如圖，且周期T=2s。（1）寫出O點的振動方程；（2）寫出該波的波動方程；（3）寫出Q點的振動方程；（4）Q點離O點的距離多大？,作業(yè)28. 一振幅為10 cm，波長為200 cm的一維余弦波。 沿x 軸正方向傳播，波速為100 cm/s，在t = 0時原點處質(zhì)點開始從平衡位置沿正位移方向運動。 求：（1）原點處質(zhì)點的振動方程；（2）在x

13、= 150 cm處質(zhì)點的振動方程。,作業(yè)34． 一平面簡諧縱波沿著線圈彈簧傳播，設(shè)波沿著x 軸正向傳播，彈簧中某圈的最大位移為3.0 cm，振動頻率為25Hz，彈簧中相鄰兩疏部中心的距離為24cm，當t = 0時，在x = 0處質(zhì)元的位移為零并向x 軸正向運動。試寫出該波的波動方程。,6、能解決波的干涉問題。,7、如圖所示，兩相干波源S1和S2的距離為d =30m，S1和S2都在x 坐標軸上，S1位于坐標原點O,設(shè)由S1和S2分別發(fā)出的

14、兩列波沿x軸傳播時，若兩波強度相等，x1 = 9m和x2 = 12m 處的兩點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點，求:兩波的波長。,由題中已知條件:,8、 如圖所示，原點O是波源，振動方向垂直于紙面，波長是?，AB為波的反射平面，反射時無半波損失。O點位于A點的正上方，AO = h，OX軸平行于AB，求OX軸上干涉加強點的坐標（限于x ≥0),解：沿Ox軸傳播的波與從AB面上P點反射來的波在坐標x處 相遇，兩波的波程差為：

15、,（當x=0時由4h2-k2?2=0可得k=2h/?..),9、振幅為A，頻率為?，波長為?的一簡諧波沿弦線傳播，在自由端A點反射（如圖），假設(shè)反射后的波不衰減，已知：OA = 7 ? /8，OB = ? /2，在t = 0時，x = 0處媒質(zhì)質(zhì)元的合振動經(jīng)平衡位置向負方向運動。求B點處入射波和反射波的合成振動方程。,解：設(shè)入射波的表達式為:,設(shè)OA=l，則反射波的表達式為:,駐波的表達式為:,其中，

16、 , B點(x=?/2)的振動方程為:,10、在一根線密度?=10-3kg/m和張力F=10N的弦線上，有一列沿軸x正方向傳播簡諧波，其頻率?=50Hz，振幅A=0.04m。已知弦上離坐標原點x1=0.5m處的質(zhì)點在t=0時刻的位移為+A/2，且沿軸負方向運動。當傳播到x2=10m處固定端時，被全部反射。試求：1）入射波和反射波的方程；2）入射波和反射波迭加波在取間內(nèi)波腹和波節(jié)處各點的坐標；3）合成波的平均能流

17、。,3),答案四：,m,m,1),2),m,作業(yè)30. 如圖所示，兩列平面簡諧相干橫波，在兩種不同的媒質(zhì)中傳播，在分界面上的P點相遇. 頻率γ= 100Hz，振幅A1 = A2 = 1.00×10 –3m，S1 的位相比S2的位相超前1/2π，在媒質(zhì)1中波速u1 = 400m/s，在媒質(zhì)2中的波速u2 = 500m/s，S1P = r1 = 4.00m , S2P = r2 =3.75m , 求：P點的合振幅。,作業(yè)31、一平

18、面簡諧波沿x正向傳播，如圖所示。振幅為A，頻率為?，傳播速度為u。（1）t=0時，在原點O處的質(zhì)元由平衡位置向y 軸正方向運動，試寫出該波的波動方程；（2）若經(jīng)界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，試寫出反射波的波動方程，并求出在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點的位置。,作業(yè)32. 在繩上傳播的入射波方程為 , 入射波在x = 0處繩端反射，反射端為固定端，設(shè)反射波不衰減，求：駐波方程。,7、能解決諧振動和波的能量問題。,11.

19、一平面簡諧機械波在媒質(zhì)中傳播時，若某媒質(zhì)元在t 時刻的能量是10 J ,則在( t +T) (T為波的周期)時刻該媒質(zhì)質(zhì)元的振動動能是多少？,作業(yè)25. 一彈簧振子作簡諧振動，振幅A=0.20m，如彈簧的倔強系數(shù)k=2.0N/m，所系物體的質(zhì)量 m=0.50kg，試求：（1）當動能和勢能相等時，物體的位移；（2）設(shè)t=0時，物體在正最大位移處，達到動能和勢能相等時所需時間是多少？（在一個周期內(nèi)）,作業(yè)29. 一彈性波在介質(zhì)中以速度u=1