高中數(shù)學3-2第3課時空間向量與空間角

1、【課標要求】,第3課時 空間向量與空間角,【核心掃描】,理解直線與平面所成角的概念．能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題．體會用空間向量解決立體幾何問題的三步曲．,向量法求解線線、線面、面面的夾角．(重點)線線、線面、面面的夾角與向量的應用．(難點),1．,2．,3．,1．,2．,想一想：當一條直線l與一個平面α的夾角為0時，這條直線一定在平面內嗎？提示　不一定，這條直線還可能與平面平行．,自學導引,投影,夾角,0

2、,空間中的角,|cos〈a，b〉|,2．,|cos〈a，n〉|,|cos〈n1，n2〉|,試一試：若二面角α ­l ­β的兩個半平面的法向量分別為n1，n2，試判斷二面角的平面角與兩法向量夾角〈n1，n2〉的關系．提示　相等或互補,兩異面直線所成角的求法(1)平移法：即通過平移其中一條(也可兩條同時平移)，使它們轉化為兩條相交直線，然后通過解三角形獲解．,名師點睛,1．,直線與平面所成角的求法(1)幾何法：找

3、出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過解由斜線段、垂線段和射影線段構成的直角三角形獲解．,2．,二面角的求法(1)幾何法：作出二面角的平面角，然后通過解三角形獲解．(2)向量法：設二面角α ­l­β的兩個半平面的法向量分別為n1，n2.①當平面α、β的法向量與α、β的關系如圖所示時，二面角α ­ l ­ β的平面角即為兩法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉．,3．,②當平

4、面α、β的法向量與α、β的關系如圖所示時，二面角α ­ l ­ β的平面角與兩法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉互補．,題型一　求異面直線的夾角,正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線AE與CF所成角的余弦值．,【例1】,解　不妨設正方體棱長為2，分別取DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則,規(guī)律方法 在解決立體幾何中兩異面直線所成角

5、問題時，若能構建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解．但應用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別．,四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當?shù)淖鴺讼担懗鳇cB、P的坐標；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．,【變式1】,解　(1)如圖，建立空間

6、直角坐標系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得,[思路探索] 利用正三棱柱的性質，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出有關點的坐標．求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，取A1B1的中點M，連結C1M，證明∠C1AM是AC1與平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．,題型二

7、　求線面角,【例2】,規(guī)律方法 用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量有關知識求解線面角．法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算．,【變式2】,(12分)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角A­A1D­B的余弦值．,題型三　二面角的求法,【例3】,[規(guī)范解答]如圖所示，取BC中點O，連結A

8、O.因為△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.,【題后反思】 幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點．而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉化為兩直線(或兩向量)所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性．,【變式3】,空間向量的具體應用主要體現(xiàn)為兩種方法——向量法

9、和坐標法．這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量的運算，最后把運算結果回歸到幾何結論．這樣就把立體幾何問題轉化為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉化思想．,方法技巧　化歸與轉化思想解決立體幾何問題,(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大?。甗思路分析]建系→求相關點坐標→求相關向量坐標→向量運算→結論．解　作AP⊥CD于點P，