高中數(shù)學(xué)3-2第2課時(shí)空間向量與垂直關(guān)系

1、【課標(biāo)要求】,第2課時(shí) 空間向量與垂直關(guān)系,【核心掃描】,能利用平面法向量證明兩個(gè)平面垂直．能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關(guān)系．,求直線的方向向量和平面的法向量．(重點(diǎn))利用方向向量和法向量處理線線、線面、面面間的垂直問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)),1．,2．,1．,2．,空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?__

2、___? _______? _______ _____________ ．(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?u∥v? ______．,自學(xué)導(dǎo)引,a⊥b,a·b＝0,a1b1＋,u＝kv,a2b2＋a3b3＝0,(3)面面垂直設(shè)平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?______? ______

3、__ ? ____________________ ．試一試：若平面α與β的法向量分別是a＝(4，0，－2)，b＝(1，0，2)，試判斷平面α與β的位置關(guān)系．提示　∵a·b＝4×1＋0×0－2×2＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.,u⊥v,u·v＝0,a1a2＋b1b2＋c1c2＝0,空間中垂直關(guān)系的證明方法,名師點(diǎn)睛,題型一　證明線線垂直,【例1】,規(guī)律方法 將線線垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂

4、直問(wèn)題后，注意選擇基向量法還是坐標(biāo)法，熟練掌握證明線線垂直的向量方法是關(guān)鍵．,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，若側(cè)棱C1C的中點(diǎn)為D，求證：AB1⊥A1D.,【變式1】,證明　設(shè)AB中點(diǎn)為O，作OO1∥AA1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD.,題型二　

5、證明線面垂直,【例2】,法二　如圖取D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別作x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，,而OB∩BG＝B，且A1O?面GBD，∴OA1⊥面GBD.法三　同方法二建系后，設(shè)面GBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z),規(guī)律方法 向量法證明線面平行的關(guān)鍵是熟練掌握證明線面垂直的向量方法，準(zhǔn)確求

6、解各點(diǎn)坐標(biāo)或用基向量表示所需向量．,如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC.,【變式2】,法二　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，1，2)．,(12分)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠

7、BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.,題型三　證明面面垂直,【例3】,∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，,【題后反思】 利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€(gè)途徑，一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證

8、明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直．,在正棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面GEF⊥平面PBC；,【變式3】,證明　如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0，3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)

9、、G(1，1，0)，P(0，0，0)．,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱BB1的中點(diǎn)，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P，使MD⊥平面PAC?,誤區(qū)警示　審題不清致誤,【示例】,解題時(shí)一定要看清題目條件是在“棱”DD1上探求一點(diǎn)，而不是在其延長(zhǎng)線上．,[正解] 由以上步驟得x＝2，∵0≤x<1，∴不存在點(diǎn)P，使MD⊥平面PAC. 解答數(shù)學(xué)題，必須根據(jù)題目的特征和給出的信息或啟示，充分運(yùn)用條件，達(dá)到盡