醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)第六章-幾種常見離散型變量的分布及其應(yīng)用li

1、第六章 幾種常見離散型變量的分布和應(yīng)用,寧夏醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)系主講人 李吳萍 教授,Distribution and Application of Discrete Data,,一、二項分布條件與性質(zhì)（二分類變量）一）、Bernoulli試驗 在醫(yī)學(xué)科研中，很多情況可歸納為觀察隨機試驗中某事件是否發(fā)生。如觀察某藥物是否有效；觀察某指標(biāo)的化驗結(jié)果是否為陽性。這些試驗的共同的特征是一次試驗只有兩

2、種獨立的結(jié)果：事件發(fā)生或事件不發(fā)生，這種試驗稱為Bernoulli試驗（或成敗試驗）。,第一節(jié) 二項分布,Bernoulli試驗序列滿足以下三個條件的 n 次試驗構(gòu)成的序列稱為Bernoulli試驗序列。1）各觀察單位只能是具有相互對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存和死亡等。2）已知發(fā)生某一結(jié)果（如陽性）的概率為?，其對立結(jié)果的概率為1- ? 。實際工作中要求? 是從大量觀察中獲取的比較穩(wěn)定的數(shù)值。3）n個觀察單位結(jié)果互相獨立，

3、即每個觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位結(jié)果。,,例 6-1 設(shè)小白鼠接受某種毒物一定劑量時，其死亡率為80%，對于每只小白鼠來說，其死亡概率為0.8，生存概率為0.2?，F(xiàn)對3只小白鼠進(jìn)行實驗觀察。結(jié)果見下表滿足Bernoulli試驗序列三個條件：一、二分類資料；二、因每次實驗條件不變，每只動物的死亡概率是相同的；三、每只動物的生與死不影響其它動物。,,,互不相容事件的加法定理,,,其中X=0，1，2…，n。 n，π是二項分布

4、的兩個參數(shù) 。,對于任何二項分布，總有,,構(gòu)成Bernoulli試驗序列的n次實驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的概率分布為：,二項式展開各項就是每種組合的概率其一般表達(dá)式為： 由于各觀察單位是獨立的，則從該總體中隨機抽取n例，其中恰有x例是陽性的概率為二項式展開，記作 ，稱為二項分布的概率函數(shù)，即,,,兩種累計方式：最多有k例陽性概率 最少有k例陽性的概率,二項分布的累計概

5、率（cumulative probability),例6.2 已知某地玉米的黃曲霉污染率近年為20%。若抽取10個樣品作檢查，求（1）污染樣品數(shù)不超過一個的概率。 （2）污染樣品數(shù)在8個以上的概率。解：,,二) 二項分布的適用條件1. 每次試驗只會發(fā)生兩種對立的可能結(jié)果 之一，即分別發(fā)生兩種結(jié)果的概率之和 恒等于1；2. 每次試驗產(chǎn)生某種結(jié)果（如“陽性”）的 概率π固定不變；3. 重復(fù)試

6、驗是相互獨立的，即任何一次試 驗結(jié)果的出現(xiàn)不會影響其它試驗結(jié)果出 現(xiàn)的概率。,在上面的例6-1中，對這10名非傳染性疾病患者的治療，可看作10次獨立的重復(fù)試驗，其療效分為有效與無效，且每一名患者治療有效的概率（π=0.70）是恒定的。這樣，10人中發(fā)生有效的人數(shù)X～B(10，0.70)。,1、二項分布的均數(shù)與方差 若X服從二項分布，它的概率為π，樣本例數(shù)為n，可簡記為X～B（N，?）則： X的均數(shù)

7、 X的方差 X的標(biāo)準(zhǔn)差,三) 二項分布的性質(zhì),若以率表示，則樣本率 p 的總體均數(shù)為則樣本率 p 的總體方差為 則樣本率 p 的總體標(biāo)準(zhǔn)差為,樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差也稱為率的標(biāo)準(zhǔn)誤，可用來描述樣本率的抽樣誤差，率的標(biāo)準(zhǔn)誤越小，則率的抽樣誤差就越小。在一般情形下，總體率π往往并不知道。此時若用樣本資料計算樣本率p=X/n作為π的估計值，則 的估計為:,例6-3 在觀測一種藥物對某種非傳染性

8、疾病的治療效果時，用該藥治療了此種非傳染性疾病患者100人，發(fā)現(xiàn)55人有效，計算率的抽樣誤差。,2、二項分布的圖形特征,二項分布圖形由參數(shù)n和π決定，當(dāng)π=0.5時，分布是對稱的，見圖6-1,2、二項分布的圖形特征,當(dāng)π≠0.5時，分布是偏態(tài)的，但隨著n的增大，分布趨于對稱。當(dāng)n ～ ∞時，只要π不太靠近0或1，二項分布則接近正態(tài)分布，見圖6-2。,,圖6-2,二、二項分布的應(yīng)用,(一)總體率的區(qū)間估計1. 查表法 2. 正

9、態(tài)近似法,二、二項分布的應(yīng)用,1. 查表法 對于n ≤50的小樣本資料，直接查附表6百分率的95%或99%可信區(qū)間表，即可得到其總體率的可信區(qū)間。例6-2 在對13名輸卵管結(jié)扎的育齡婦女經(jīng)壺腹部-壺腹部吻合術(shù)后，觀察其受孕情況，發(fā)現(xiàn)有6人受孕，據(jù)此資料估計該吻合術(shù)婦女受孕率的95%可信區(qū)間。,二、二項分布的應(yīng)用,附表6只列出 的部分。當(dāng) 時，可先按“陰性”數(shù)n-X查得總體陰性率的1-α可信區(qū)間QL

10、～QU，再用下面的公式轉(zhuǎn)換成所需的陽性率的 1-α可信區(qū)間。 PL=1-QU， PU=1-QL例6-2 在對13名輸卵管結(jié)扎的育齡婦女經(jīng)壺腹部-壺腹部吻合術(shù)后，觀察其受孕情況，發(fā)現(xiàn)有7人受孕，據(jù)此資料估計該吻合術(shù)婦女受孕率的95%可信區(qū)間。,二、二項分布的應(yīng)用,2. 正態(tài)近似法 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的中心極限定理可得，當(dāng)n較大、π不接近0或1時，二項分布B(n,π)近似正態(tài)分布

11、 ，而相應(yīng)的樣本率p的分布也近似 正態(tài)分布。為此，當(dāng)n較大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5時，可利用樣本率p的分布近似正態(tài)分布來估計總體率的可信區(qū)間。,的 可信區(qū)間為：如： 的95%可信區(qū)間為 的99%可信區(qū)間為,,例 在某鎮(zhèn)按人口的1/20隨機抽取329人，作血清登革熱血凝抑制擴抗體反應(yīng)檢驗，得陽性率為8.81%，求此陽性

12、率的抽樣誤差 Sp及總體陽性率的95%可信區(qū)間。本例n=329,p=8.81%，則其抽樣誤差為：則其總體率的95%可信區(qū)間為：,(二)樣本率與總體率的比較1.直接法 在諸如療效評價中，利用二項分布直接計算有關(guān)概率，對樣本率與總體率的差異進(jìn)行有無統(tǒng)計學(xué)意義的比較。比較時，經(jīng)常遇到單側(cè)檢驗，即“優(yōu)”或“劣”的問題。那么，在總體陽性率為π的n次獨立重復(fù)試驗中，下面兩種情形的概率計算是不可少的。,（1）出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)至多為k次

13、的概率為:（2）出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)至少為k次的概率為,例6-4 據(jù)報道，對輸卵管結(jié)扎了的育齡婦女實施壺腹部-壺腹部吻合術(shù)后，受孕率為0.55。今對10名輸卵管結(jié)扎了的育齡婦女實施峽部-峽部吻合術(shù)，結(jié)果有9人受孕。問實施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率是否高于壺腹部-壺腹部吻合術(shù)？顯然，這是單側(cè)檢驗的問題，其假設(shè)檢驗為H0：π=0.55H1：π>0.55 =0.05,,對這10名實施峽部-峽部吻合術(shù)的婦

14、女，按0.55的受孕率，若出現(xiàn)至少9人受孕的概率大于0.05，則不拒絕H0；否則，拒絕H0，接受H1。本例n=10，π=0.55，k=9。按公式（6-12）,按 α =0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為實施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率要高于壺腹部-壺腹部吻合術(shù)。,2.正態(tài)近似法 當(dāng)n較大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5時，利用樣本率的分布近似正態(tài)分布的原理，可作樣本率p與已知總體率π0的比較。檢驗統(tǒng)計

15、量u值的計算公式為:,例6-6 對某疾病采用常規(guī)治療，其治愈率為45%。現(xiàn)改用新的治療方法，并隨機抽取180名該疾病患者進(jìn)行了新療法的治療，治愈117人。問新治療方法是否比常規(guī)療法的效果好？本例是單側(cè)檢驗，記新治療方法的治愈率為π，而π0=0.45。其假設(shè)檢驗為H0：π=0.45H1：π>0.45 α =0.05,本例n=180，p=117/180=0.65查u界值表（t界值表中 v為 ∞的一行）得單側(cè)

16、 P<0.005 。按 а=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，即新的治療方法比常規(guī)療法的效果好。,(三)兩樣本率的比較兩樣本率的比較，目的在于對相應(yīng)的兩總體率進(jìn)行統(tǒng)計推斷。設(shè)兩樣本率分別為p1和p2，當(dāng)n1與n2均較大，且p1、1-p1及p2、1-p2均不太小，如n1p1、n1(1-p1)及n2p2、n2(1-p2)均大于5時，可利用樣本率的分布近似正態(tài)分布，以及獨立的兩個正態(tài)變量之差也服從正態(tài)分布的性質(zhì)，采用正態(tài)近似法對兩

17、總體率作統(tǒng)計推斷。,檢驗統(tǒng)計量u的計算公式為：,例6-7 為研究某職業(yè)人群頸椎病發(fā)病的性別差異，今隨機抽查了該職業(yè)人群男性120人和女性110人，發(fā)現(xiàn)男性中有36人患有頸椎病，女性中有22人患有頸椎病。試作統(tǒng)計推斷。H0：π1=π2H1：π1≠π2 =0.05,本例n1=12，X1=36，p1=X1/n1=36/120=0.30n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.2

18、0,查u界值表得0.05<P<0.10。按 =0.05水準(zhǔn)，不拒絕H0，即尚不能認(rèn)為該職業(yè)人群頸椎病的發(fā)病有性別差異。,(四)研究非遺傳性疾病的家族集聚性 非遺傳性疾病的家族集聚性(clustering in families)，系指該種疾病的發(fā)生在家族成員間是否有傳染性？如果沒有傳染性，即該種疾病無家族集聚性，家族成員患病應(yīng)是獨立的。此時以家族為樣本，在n個成員中，出現(xiàn)X個成員患病的概率分布呈二項分布；

19、否則，便不服從二項分布。,例6-8 某研究者為研究某種非遺傳性疾病的家族集聚性，對一社區(qū)82戶3口人的家庭進(jìn)行了該種疾病患病情況調(diào)查，所得數(shù)據(jù)資料見表6-1中的第（1）、（2）欄。試分析其家族集聚性。,,如果該社區(qū)的此種疾病存在家族集聚性，則以每戶3口人的家庭為樣本，在3個家庭成員中，出現(xiàn)X（=0，1，2，3）個成員患病的概率分布即不服從二項分布。為此，可作如下假設(shè)檢驗。H0：該疾病的發(fā)生無家族集聚性H1：該疾病的發(fā)生有家族集聚

20、性 =0.10,本例調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：N=82×3=246（人）其中患病人數(shù)為：D=0×26+1×10+2×28+3×18=120（人）以這246人的患病率估計總體的患病率，即π=D/N=120/246=0.49。,在n=3、π=0.49時，利用二項分布，求得X=0，1，2，3的概率P(X)，并以此得到相應(yīng)的理論戶數(shù)。對理論戶數(shù)與實際戶數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度（goodness

21、of fit）的檢驗。此時，自由度=組數(shù)－2=4－2=2。計算結(jié)果列于表6-1中的第（3）至（7）欄。,以υ=2 χ2=42.95 查附表8，P<0.005。按 α=0.10水準(zhǔn)，拒絕H0,接受H1，及此項疾病存在家族聚集性。,(五) 群檢驗 在工作中有時會遇到需對收集的一大批標(biāo)本進(jìn)行實驗室檢驗，以了解其陽性率的問題。但要在實驗室對所有標(biāo)本一一作陽性認(rèn)定往往需要大量的人力和物力，也不切實際，使用所謂的群檢驗技術(shù)即可解決

22、這一問題。,群檢驗的具體做法是，將N個標(biāo)本分成n群，每群m個標(biāo)本，即N=mn。每個群都送試驗室檢驗是否為陽性群。對于某群，一旦檢驗出陽性標(biāo)本就停止此群中剩余標(biāo)本的檢驗，該群即為陽性群。顯然，只有對陰性群，才需檢驗群中所有的m個標(biāo)本，這樣可大大地減少檢驗標(biāo)本的個數(shù)。,N個標(biāo)本,n個群,試驗陽性,m個標(biāo)本,試驗陰性,陽性群,停止,每例都檢驗,,,,,,,若記每個標(biāo)本為陽性的概率為π，則1-π=QQ是每個標(biāo)本為陰性的概率，Qm便是某群m個標(biāo)

23、本均為陰性的概率，即一個群為陰性群的概率，而1- Qm就是一個群為陽性群的概率。假定受檢的n個群中有X個群是陽性群，用X/n作為一個群為陽性群概率的估計值，于是便有,這樣，陽性概率π的估計值為：,利用公式可估計某一地區(qū)某種病毒對生物的總體感染率，也可用于混合樣品(mixed sample)的分析。,第二節(jié) Poisson分布,Poisson分布（Poisson distribution）作為二項分布的一種極限情況，已發(fā)展成為描述小概率

24、事件發(fā)生規(guī)律性的一種重要分布。Poisson分布是描述單位面積、體積、時間、人群等內(nèi)稀有事件（或罕見事件）發(fā)生數(shù)的分布。,醫(yī)學(xué)上:諸如人群中遺傳缺陷、癌癥等發(fā)病率很低的非傳染性疾病的發(fā)病或患病人數(shù)的分布， 單位時間內(nèi)（或單位空間、容積內(nèi)）某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細(xì)菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動物數(shù)的分布等。,所謂隨機變量X服從Poisson分布，是指在足夠多的n次獨立Bernoulli

25、試驗中，取值X的概率為,,一、Poisson分布的適用條件和性質(zhì),(二) Poisson分布的性質(zhì)1. 總體均數(shù) 與總體方差 相等是Poisson分布的重要特征。2. 當(dāng)n很大，而π很小，且nπ= 為常數(shù)時，二項分布近似Poisson分布。3. 當(dāng) 增大時，Poisson分布漸近正態(tài)分布。一般而言， ≥20時，Poisson分布資料可作為正態(tài)分布處理。,4. Poisson分布具備可加性。即對于服從Poiss

26、on分布的m個互相獨立的隨機變量X1，X2，……，Xm，它們之和也服從Poisson分布，且其均數(shù)為這m個隨機變量的均數(shù)之和。,(三) Poisson分布的圖形不同的參數(shù) 對應(yīng)不同的Poisson分布，即 的大小決定了Poisson分布的圖形特征，見圖6-3。 當(dāng) 越小，分布就越偏態(tài)；當(dāng) 越大時，Poisson分布則越漸近正態(tài)分布。當(dāng) ≤1時，隨X取值的變大，P(X)值反而變?。划?dāng) >1 時，隨X

27、取值的變大，P(X)值先增大而后變小。如若 是整數(shù)，則P(X)在X= 和X= -1位置取得最大值。,二、Poisson分布的應(yīng)用(一)總體均數(shù)的區(qū)間估計利用服從Poisson分布的樣本資料可估計其總體均數(shù) 的可信區(qū)間。估計方法如下：1.  查表法 對于獲得的樣本計數(shù)X，當(dāng)X≤50時，直接查附表7的Poisson分布可信區(qū)間表，即可得到其總體均數(shù)的95%或99%可信區(qū)間。,例6

28、-10 某工廠在環(huán)境監(jiān)測中，對一實施了技術(shù)改造的生產(chǎn)車間作空氣中粉塵濃度的檢測，1立升空氣中測得粉塵粒子數(shù)為21。假定車間空氣中的粉塵分布均勻，試估計該車間平均每立升空氣中所含粉塵顆粒數(shù)的95%和99%可信區(qū)間。本例，X=21，查查附表7，該車間平均每立升空氣所含粉塵顆粒數(shù)的95%可信區(qū)間為13.0～32.0； 99%可信區(qū)間為11.0～35.9。,2. 正態(tài)近似法 當(dāng)X>50時，可采用正態(tài)近似法估計總體均數(shù)的

29、 可信區(qū)間，計算公式為:如： 的95%可信區(qū)間為,例6-11 某研究者對某社區(qū)12000名居民進(jìn)行了健康檢查，發(fā)現(xiàn)其中有68名胃癌患者。估計該社區(qū)胃癌患病數(shù)的95%和99%可信區(qū)間。,(二) 樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較對于Poisson分布資料而言，進(jìn)行樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較有兩種方法。1. 直接法 當(dāng)總體均數(shù) <20時，可采用直接計算概率的方式對樣本均數(shù)與已知總體均數(shù)間的差別進(jìn)行有無統(tǒng)計學(xué)意義的比較

30、，這實質(zhì)上是對以樣本計數(shù)X為代表的總體率π與已知的總體率π0是否有差別進(jìn)行推斷。,例6-12 一般人群先天性心臟病的發(fā)病率為8‰，某研究者為探討母親吸煙是否會增大其小孩的先天性心臟病的發(fā)病危險，對一群20～25歲有吸煙嗜好的孕婦進(jìn)行了生育觀察，在她們生育的120名小孩中，經(jīng)篩查有4人患了先天性心臟病。試作統(tǒng)計推斷。,2、正態(tài)近似法 根據(jù)Poission分布的性質(zhì)，當(dāng)λ≥20時，可用正態(tài)分布來近似。樣本計數(shù)X與已知均數(shù)λ的比較，采

31、用下式計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)檢驗統(tǒng)計量。,例6-13 有研究表明，一般人群精神發(fā)育不全的發(fā)生率為3‰，今調(diào)查了有親緣血統(tǒng)婚配關(guān)系的后代25000人，發(fā)現(xiàn)123人精神發(fā)育不全，問有親緣血統(tǒng)婚配關(guān)系的后代其精神發(fā)育不全的發(fā)生率是否要高于一般人群？可以認(rèn)為人群中精神發(fā)育不全的發(fā)生數(shù)服從Poisson分布。本例n=25000，X=123，π0=0.003， =nπ0=25000×0.003=75。,(三) 兩個樣本均數(shù)的比較對服從Poi

32、sson分布的樣本，其樣本計數(shù)可看作是樣本均數(shù)。兩個樣本均數(shù)的比較，目的在于推斷兩樣本所代表的兩總體均數(shù)是否有差別。設(shè)兩個樣本計數(shù)分別為X1和X2，可利用正態(tài)近似法進(jìn)行比較。,1. 兩個樣本的觀察單位數(shù)相等，即n1=n2 。,2. 兩個樣本的觀察單位數(shù)不相等，即n1 ≠ n2 。,例6-14 某衛(wèi)生檢疫機構(gòu)對兩種純凈水各抽驗了1ml水樣，分別培養(yǎng)出大腸桿菌4個和7個，試比較這兩種純凈水中平均每毫升所含大腸桿菌數(shù)有無差別？本例水樣

33、中的大腸桿菌數(shù)服從Poisson分布，兩種水樣的觀察單位數(shù)相等，即均為1ml。兩樣本計數(shù)分別記為X1=4和X2=7，X1+X2=7+4=11。選擇公式（6-21）來計算檢驗統(tǒng)計量。,例6-15 某研究者為了分析一種罕見的非傳染性疾病發(fā)病的地域差異，對甲地區(qū)連續(xù)觀察了四年，發(fā)現(xiàn)有32人發(fā)??；對乙地區(qū)連續(xù)觀察了三年，發(fā)現(xiàn)有12人發(fā)病。假定甲、乙兩地區(qū)在觀察期內(nèi)的人口構(gòu)成相同，人口基數(shù)相近且基本不變，試作統(tǒng)計推斷。,本例中疾病的發(fā)病人數(shù)服從

34、Poisson分布，但對甲地區(qū)連續(xù)觀察了四年（n1=4），而對乙地區(qū)只連續(xù)觀察了三年（n2=3），即兩個樣本的觀察時間單位數(shù)不相等。甲、乙兩地區(qū)在觀察期內(nèi)的發(fā)病人數(shù)分別記為X1=32和X2=12，X1+X2=32+12=44。選擇公式（6-22）來計算檢驗統(tǒng)計量。,總 結(jié)1. 二項分布常用于描述變量的結(jié)果只有兩種的出現(xiàn)規(guī)律，2.泊松分布可看成是二項分布的特例，用于小概率事件的發(fā)生規(guī)律，當(dāng)然泊松分布專用于空間散點試驗?zāi)Ｐ偷某霈F(xiàn)規(guī)律