第六章-定積分及其應(yīng)用

1、第六章第六章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用1證明：設(shè)證明：設(shè))(xf為][ba上連續(xù)且非負(fù)，則上連續(xù)且非負(fù)，則??badxxf0)(的充要條件為的充要條件為)(xf在][ba上恒為零，即上恒為零，即0)(?xf。證明：充分性是顯然的，以下證明必要性。證明：充分性是顯然的，以下證明必要性。法10：反證法。若存在][0bax?為)(xf的某一連續(xù)點(diǎn)，且0)(0?xf，則0???，使)(xf0)(210??xf，][)(00baxxx?????

2、?從而有??badxxf)(0)()(000????????xxxfdxxf與已知矛盾。從而結(jié)論成立。法20：對(duì)一切的][bax?有???xadxxf)(0??badxxf0)(從而??xadxxf0)(，][bax?。那么??xadxxfdxd0)(即0)(?xf。2利用定積分求極限：利用定積分求極限：1）)212111(limnnnIn?????????；2）nnnnnnJ)12()1(1lim??????。解：1）)212111(

3、limnnnIn????????????????ninnni1111lim2ln)1ln(11010??????xxdx2）nnnnnnJ)12()1(1lim??????nnnnn)11()11(1lim????????nninin1)1(limexp10????????edxx4)1ln(exp(10????3設(shè)在設(shè)在][ba上)(xg為連續(xù)函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，)(xf為單調(diào)的連續(xù)可微函數(shù)。證明：存在為單調(diào)的連續(xù)可微函數(shù)。證明：存在]

4、[ba??，存在)10()1(??c?，使0)(???F。即0)()(??????ff。7設(shè)設(shè))(xf在區(qū)間在區(qū)間][ba上是連續(xù)且遞增的函數(shù)，上是連續(xù)且遞增的函數(shù)，證明：證明：????babadxxxfdxxfba)(2)()(。證明：法10：只要證??dxxxfba)(0)(2???dxxfbaba令???dxxxftta)()(?dxxftata??)(2，][bat?，則0)(?a?。???)()(ttft?)(2)(21tft

5、adxxfta?????)(ttf)(2)(2tftafat????)(ta??0)]()([2?????ftfat所以)(t?為遞增的函數(shù)，因此???dxxxfbba)()(?0)(2???dxxfbaba。法20：由)(xf遞增，所以0)]2()()[2(?????bafxfbax。因此0)]2()()[2(??????bafxfbaxba即??dxxxfba)(???dxxfbaba)(2dxbaxbafba????)2()2(d

6、xxfbaba???)(2法30：dxxfbaxba)()2(???????2(baadxxfbaxbba)()2)(2??????????dxbaxfbaa21)2()(?dxbaxfbba????22)2()(?0)]()([2)(122??????ffab8設(shè)設(shè))(xf在]10[上單調(diào)減少且連續(xù)，證明：對(duì)上單調(diào)減少且連續(xù)，證明：對(duì))10(??q，恒有不等式，恒有不等式??dxxfq0)(dxxfq?10)(。證明：法10：令???