第六章 定積分的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)教案6定積分的應(yīng)用重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組第六章第六章定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用教學(xué)目的教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達(dá)和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立

2、體體積。2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：1、截面面積為已知的立體體積。2、引力。6?1定積分的元素法定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積?設(shè)y?f(x)?0(x?[a?b])?如果說積分???badxxfA)(是以[a?b]為底的曲邊梯形的面積?則積分上限函數(shù)??xadttfxA)()(就是以[a?x]為底的曲邊梯形的面積?而微分dA(x)?f(x)dx表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?

3、f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?以[a?b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式?以[a?b]為積分區(qū)間的定積分????badxxfA)(一般情況下?為求某一量U?先將此量分布在某一區(qū)間[a?b]上?分布在[a?x]上的量用函數(shù)U(x)表示?再求這一量的元素dU(x)?設(shè)dU(x)?u(x)dx?然后以u(x)dx為被積表達(dá)式?以[a?b]為積分區(qū)間求定積分即得???badxxfU)(用這一方

4、法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?高等數(shù)學(xué)教案6定積分的應(yīng)用重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組????022sin4?tdtab???20)2cos1(2?dttab??abab???222極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?由曲線???(?)及射線???????圍成的圖形稱為曲邊扇形?曲邊扇形的面積元素為????ddS2)]([21?曲邊扇形的面積為????????dS2)]([21例4.計算阿基米德螺線??a?(a

5、0)上相應(yīng)于?從0變到2?的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?解:??????202)(21daS32203234]31[21???aa??例5.計算心形線??a(1?cos?)(a0)所圍成的圖形的面積?解:??????02]cos1([212daS????????02)2cos21cos221(da??????20223]2sin41sin223[aa????二、體二、體積1旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一

6、周而成的立體?這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸?常見的旋轉(zhuǎn)體?圓柱、圓錐、圓臺、球體?旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?設(shè)過區(qū)間[a?b]內(nèi)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)?當(dāng)平面左右平移dx后?體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx?于是體積元素為dV??[f(x)]2dx?旋轉(zhuǎn)體的體積為?dxxfVba2)]([???例1連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h?r)的