離散數(shù)學第六章

1、第六章 代數(shù)結(jié)構(gòu)概念及性質(zhì),6.1 代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例6.2 代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)6.3 同態(tài)與同構(gòu)6.4 同余關(guān)系6.5 商代數(shù)6.6 積代數(shù),退出,6.1 代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例,在正式給出代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義之前，先來說明什么是在一個集合上的運算，因為運算這個概念是代數(shù)結(jié)構(gòu)中不可缺少的基本概念。定義6.1.1 設(shè)S是個非空集合且函數(shù)

2、 或f:Sn →S，則稱f為一個n元運算。其中n是自然數(shù)，稱為運算的元數(shù)或階。當n=1時，稱f為一元運算，當n=2時，稱f為二元運算，等等。,注意，n元運算是個閉運算，因為經(jīng)運算后產(chǎn)生的

3、象仍在同一個集合中。封閉性表明了n元運算與一般函數(shù)的區(qū)別之處。此外，有些運算存在幺元或零元，它在運算中起著特殊的作用，稱它為S中的特異元或常數(shù)。,運算的例子很多，例如，在數(shù)理邏輯中，否定是謂詞集合上的一元運算，合取和析取是謂詞集合上的二元運算；在集合論中，并與交是集合上的二元運算；在整數(shù)算術(shù)中，加、減、乘運算是二元運算，而除運算便不是二元運算，因為它不滿足封閉性。,在下面講座的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，主要限于一元和二元運算，將用’、?或ˉ等符號表示

4、一元運算符；用?、?、⊙、○、?、?、∩、∪等表示二元運算符，一元運算符常常習慣于前置、頂置或肩置，如?x、、x’；而二元運算符習慣于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上運算的概念后，便可定義代數(shù)結(jié)構(gòu)了。,定義6.1.2 設(shè)S是個非空集合且fi是S上的ni元運算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm組成的結(jié)構(gòu)，稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)，記作。此外，集合S的基數(shù)即|S|定義代數(shù)結(jié)構(gòu)的基數(shù)。如果S是有限集合，則說

5、代數(shù)結(jié)構(gòu)是有限代數(shù)結(jié)構(gòu)；否則便說是無窮代數(shù)結(jié)構(gòu)。有時，要考察兩個或多個代數(shù)結(jié)構(gòu)，這里就有個是否同類型之說，請看下面定義：,定義6.1.3 設(shè)兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)和，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元數(shù)，則稱這兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)是同類型的。可見，判定兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)是否同類型，主要是對其運算進行考察。此外，有時還需要在代數(shù)結(jié)構(gòu)中集合的某個子集上討論其性質(zhì)，這就引出子代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念。,定義6.1.4 設(shè)是一代數(shù)結(jié)構(gòu)且非空集T?S在運算f1，f

6、2，…，fm作用下是封閉的，且T含有與S中相同的特異元，則稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)的子代數(shù)。記為?。在結(jié)束本節(jié)時，聲明記號即為一代數(shù)結(jié)構(gòu)，除特別指明外，運算符f1,f2,···,fm均為二元運算。根據(jù)需要對S及f1,f2,···,fm可置不同的集合符和運算符。,6.2 代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì),所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)即是結(jié)構(gòu)中任何運算所具有的性質(zhì)。1.結(jié)合律給定，則運算“⊙”滿足結(jié)合律或“⊙

7、”是可結(jié)合的，即(?x)(?y)(?z)(x，y，z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))。,2.交換律給定，則運算“⊙”滿足交換律或“⊙”是可交換的，即( ?x)( ?y)(x，y∈S→x⊙y=y⊙x)?？梢?，如果一代數(shù)結(jié)構(gòu)中的運算⊙是可結(jié)合和可交換的，那么，在計算a1⊙a2⊙···⊙a0=am。稱am為a的m次冪，m稱a的指數(shù)。下面給出am的歸納定義：,設(shè)有且a?S，對于m?I+，其中I+表示正整數(shù)

8、集合，可有：(1) a1=a(2)am+1=am⊙a由此利用歸納法不難證明指數(shù)定律：(1)am⊙an=am+n(2)(am)n=amn這里，m,n?I+。類似地定義某代數(shù)結(jié)構(gòu)中的負冪和給出負指數(shù)定律。,3.分配律一個代數(shù)結(jié)構(gòu)若具有兩個運算時，則分配律可建立這兩個運算之間的某種聯(lián)系。給定，則運算⊙對于○滿足左分配律，或者⊙對于○是可左分配的，即(?x)(?y)(?z)(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(y⊙x)○(x⊙

9、z))。,運算⊙對于○滿足右分配律或⊙對于○是可右分配的，即(?x)(?y)(?z)(x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x))類似地可定義○對于⊙是滿足左或右分配律。若⊙對于○既滿足左分配律又滿足右分配律，則稱⊙對于○滿足分配律或是可分配的。同樣可定義○對于⊙滿足分配律。,由定義不難證明下面定理：定理6.2.1 給定且⊙是可交換的。如果⊙對于○滿足左或右分配律，則⊙對于○滿足分配律。,例6.2.3 給定，其中B

10、={0,1}。表6.2.1分別定義了運算⊙和○，問運算⊙對于○是可分配的嗎？○對于⊙呢？,形如表6.2.1的表常常被稱為運算表或復合表，它由運算符、行表頭元素、列表頭元素及復合元素四部分組成。當集合S的基數(shù)很小，特別限于幾個時，代數(shù)結(jié)構(gòu)中運算常常用這種表給出。其優(yōu)點簡明直觀，一目了然。解 可以驗證⊙對于○是可分配的，但○對于⊙并非如此。因為1○(0⊙1)?(1○0)⊙(1○1),4.吸收律給定，則⊙對于○滿足左吸收律:=(?x

11、)(?y)(x，y∈S→x⊙(x○y)=x)⊙對于○滿足右吸收律:=(?x)(?y)(x，y∈S→(x○y)⊙x=x),若⊙對于c既滿足左吸收律又滿足右吸收律，則稱⊙對于○滿足吸收律或可吸收的?！饘τ凇褲M足左、右吸收律和吸收律類似地定義。若⊙對于○是可吸收的且○對于⊙也是可吸收的，則⊙和○是互為吸收的或⊙和○同時滿足吸收律。,5.等冪律與等冪元給定，則“⊙”是等冪的或“⊙”滿足等冪律:=( ?x)(x∈S→x⊙x=x)給定且

12、x∈S，則x是關(guān)于“⊙”的等冪元:=x⊙x=x于是，不難證明下面定理：定理6.2.2 若x是中關(guān)于⊙的等冪元，對于任意正整數(shù)n，則xn=x。,6. 幺元或單位元給定且el，er，e∈S，則el為關(guān)于⊙的左幺元:=( ?x)(x∈S→el⊙x=x)er為關(guān)于⊙的右幺元:=( ?x)(x∈S→x⊙er=x)若e既為⊙的左幺元又為⊙的右幺元，稱e為關(guān)于⊙的幺元。亦可定義如下：e為關(guān)于⊙的幺元:=( ?x)(x∈S→e⊙x

13、=x⊙e=x)。,定理6.2.3 給定且el和er分別關(guān)于⊙的左、右幺元，則el=er=e且幺元e唯一。,7.零元給定及θl，θr，θ∈S，則θl為關(guān)于○的左零元:=( ?x)(x∈S→θl○x=θl)θr為關(guān)于○的右零元:=( ?x)(x∈S→x○θr=θr)θ為關(guān)于○的零元:=( ?x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ),定理6.2.4 給定且θl和θr分別為關(guān)于⊙的左零元和右零元，則θl=θr=θ且零元θ是唯一的

14、。定理6.2.5 給定且|S|＞1。如果θ，e∈S，其中θ和e分別為關(guān)于⊙的零元和幺元，則θ≠e。,8．逆元給定且幺元e，x∈S，則x為關(guān)于⊙的左逆元:=(?y)(y∈S∧x⊙y=e)x為關(guān)于⊙的右逆元:=(?y)(y∈S∧y⊙x=e)x為關(guān)于⊙可逆的:=(?y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e),給定及幺元e；x，y∈S，則y為x的左逆元:=y⊙x=ey為x的右逆元:=x⊙y=ey為x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e,顯然，

15、若y是x的逆元，則x也是y的逆元，因此稱x與y互為逆元。通常x的逆元表為x-1。一般地說來，一個元素的左逆元不一定等于該元素的右逆元。而且，一個元素可以有左逆元而沒有右逆元，反之亦然。甚至一個元素的左或右逆元還可以不是唯一的。,定理6.2.6 給定及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且一個元素x的左逆元xl-1和右逆元xr-1存在，則xl-1=xr-1。定理6.2.7 給定及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且x的逆元x-1存在，則x-

16、1是唯一的。,9.可約律與可約元給定且零元θ∈S，則⊙滿足左可約律或是左可約的:=( ?x)( ?y)( ?z)((x，y，z∈S∧x≠θ∧x⊙y=x⊙z)→y=z)，并稱x是關(guān)于⊙的左可約元?！褲M足右可約律或是右可約的:=( ?x)( ?y)( ?z)((x，y，z∈S∧x≠θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，并稱x是關(guān)于⊙的右可約元。,若⊙既滿足左可約律又滿足右可約律或⊙既是左可約又是右可約的，則稱⊙滿足可約律或⊙是可約的。

17、若x既是關(guān)于⊙的左可約元又是關(guān)于⊙的右可約元，則稱x是關(guān)于⊙的可約元。可約律與可約元也可形式地定義如下：,⊙滿足可約律:=( ?x)( ?y)( ?z)(x，y，z∈S∧x≠θ∧((x⊙y=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))給定且零元θ，x∈S。x是關(guān)于⊙的可約元:=( ?y)( ?z)(y，z∈S∧x≠θ∧((x⊙y)=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))。,定理6.2.8 給定且○是可結(jié)合的，如果x是關(guān)于○可逆的且

18、x≠θ，則x也是關(guān)于○的可約元。證明 設(shè)任意y,z?S且有x○y=x○z或y○x=z○x。因為○是可結(jié)合的及x是關(guān)于○可逆的，則有x-1○(x○y)=(x-1○x)○y=e○y=y=x-1○(x○z)=(x-1○x)○z=e○z=z,故得x○y=x○z?y=z，同樣可證得y○x=z○x?y=z，故x是關(guān)于○的可約元。最后，作一補充說明，用運算表定義一代數(shù)結(jié)構(gòu)的運算，從表上很能反映出關(guān)于運算的各種性質(zhì)。為確定起見，假定及x，y

19、，θ，e∈S。,(1)運算○具有封閉性，當且僅當表中的每個元素都屬于S。(2)運算○滿足交換律，當且僅當表關(guān)于主對角線是對稱的。(3)運算○是等冪的，當且僅當表的主對角線上的每個元素與所在行或列表頭元素相同。,(4)元素x是關(guān)于○的左零元，當且僅當x所對應(yīng)的行中的每個元素都與x相同；元素y是關(guān)于○的右零元，當且僅當y所對應(yīng)的列中的每個元素都與y相同；元素θ是關(guān)于○的零元，當且僅當θ所對應(yīng)的行和列中的每個元素都與θ相同。,(5)元素x

20、為關(guān)于○的左幺元，當且僅當x所對應(yīng)的行中元素依次與行表頭元素相同；元素y為關(guān)于○的右幺元，當且僅當y所對應(yīng)的列中元素依次與列表頭元素相同；元素e是關(guān)于○的幺元，當且僅當e所對應(yīng)的行和列中元素分別依次地行表頭元素和列表頭元素相同。,(6)x為關(guān)于○的左逆元，當且僅當位于x所在行的元素中至少存在一個幺元，y為關(guān)于○的右逆元，當且僅當位于y所在列的元素中至少存在一個幺元；x與y互為逆元，當且僅當位于x所在行和y所在列的元素以及y所在行和x所在

21、列的元素都是幺元。,6.3 同態(tài)與同構(gòu),本節(jié)將闡明兩個重要概念——同態(tài)與同構(gòu)。在以后各節(jié)中，它們會經(jīng)常被使用到。,定義6.3.1 設(shè)與是同類型的。稱同態(tài)于或為的同態(tài)象，記為?，其定義如下：?:=(?f)(f∈YX∧(?x1)(?x2)(x1，x2∈X→f(x1⊙x2)=f(x1)○f(x2)))同時，稱f為從到的同態(tài)映射?？梢钥闯觯瑧B(tài)映射f不必是唯一的。,兩個同類型的代數(shù)結(jié)構(gòu)間的同態(tài)定義不僅適用于具有一個二元運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)

22、，也可以推廣到具有多個二元運算的任何兩個同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)。例如，對于具有兩個二元運算的兩個同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)和的同態(tài)定義如下：?:=(?f)(f?YX?(?x1)(?x2)(x1,x2?X?(f(x1⊙x2)=f(x1)?f(x2)?f(x1○x2)=f(x1)?f(x2))),定理6.3.1 如果?且f為其同態(tài)映射，則?。由于函數(shù)f?YX的不同性質(zhì)，將給出不同種類的同態(tài)定義。,定義6.3.2 設(shè)?且f為其同態(tài)映射。(

23、i)如果f為滿射，則稱f是從到的滿同態(tài)映射。(ii)如果f為單射(或一對一映射)，則稱f為從到的單一同態(tài)映射。,(iii)如果f為雙射(或一一對應(yīng))，則稱f為從到的同構(gòu)映射。記為?。顯然，若f是從到的同構(gòu)映射，則f為從到的滿同態(tài)映射及單一同態(tài)映射，反之亦然。,例6.3.4 給定，其中I為整數(shù)集合，+為一般加法。作函數(shù)f?II:f(x)=kx，其中x,k?I則當k?0時，f為到的單一同態(tài)映射。當k=-1或k=1時，f為從到的同構(gòu)映

24、射。綜上可以看出，同態(tài)映射具有一個特性，即“保持運算”。對于滿同態(tài)映射來說，它能夠保持運算的更多性質(zhì)，為此，給出如下定理：,定理6.3.2 給定?且f為其滿同態(tài)映射，則(a)如果⊙和○滿足結(jié)合律，則?和?也滿足結(jié)合律。(b)如果⊙和○滿足交換律，則?和?也滿足交換律。,(c)如果⊙對于○或○對于⊙滿足分配律，則?對于?或?對于?也相應(yīng)滿足分配律。(d)如果⊙對于○或○對于⊙滿足吸收律，則?對于?或?對于?也滿足吸收律。(e)

25、如果⊙和○滿足等冪律，則?和?也滿足等冪律。(f)如果e1和e2分別是關(guān)于⊙和○的幺元，則f(e1)和f(e2)分別為關(guān)于?和?的幺元。,(g)如果θ1和θ2分別是關(guān)于⊙和○的零元，則f(θ1)和f(θ2)分別為關(guān)于?和?的零元。(h)如果對每個x∈X均存在關(guān)于⊙的逆元x-1，則對每個f(x)∈Y也均存在關(guān)于?的逆元f(x-1)；如果對每個z∈X均存在關(guān)于○的逆元z-1，則對每個f(z)∈Y也均存在關(guān)于?的逆元f(z-1)。,定理6

26、.3.2告訴我們，對于滿同態(tài)映射來說，代數(shù)系統(tǒng)的許多性質(zhì)都能保持，如結(jié)合律、交換律、分配律、等冪律、幺元、零元、逆元等，但這種保持性質(zhì)是單向的，即如果滿同態(tài)于，則所具有的性質(zhì)，均具有。但反之不然，即所具有的某些性質(zhì)，不一定具有。不盡要問，在怎樣條件下，所具有的性質(zhì)都完全具有呢?為了回答這個問題，需要引出兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)同構(gòu)的概念。,定義6.3.3 設(shè)與是同類型的。稱同構(gòu)于，記為?，其定義如下：?:=(?f)(f為從到的同構(gòu)映射或更詳細地

27、定義為：?:=(?f)(f∈YX∧f為雙射∧f為從到的同態(tài)映射),由定義可知，同構(gòu)的條件比同態(tài)強，關(guān)鍵是同構(gòu)映射是雙射，即一一對應(yīng)。而同態(tài)映射不一定要求是雙射。正因為如此，同構(gòu)不再僅僅象滿同態(tài)那樣對保持運算是單向的了，而對保持運算成為雙向的。兩個同構(gòu)的代數(shù)，表面上似乎很不相同，但在結(jié)構(gòu)上實際是沒有什么差別，只不過是集合中的元素名稱和運算的標識不同而已，而它們的所有發(fā)生“彼此相通”。,這樣，當探索新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)時，如果發(fā)現(xiàn)或者能夠證

28、明該結(jié)構(gòu)同構(gòu)于另外一個性質(zhì)已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)，便能直接地知道新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的各種性質(zhì)了。對于同構(gòu)的兩個代數(shù)系統(tǒng)來說，在它們的運算表中除了元素和運算的標記不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根據(jù)這些特征來識別同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)。,同構(gòu)是一個關(guān)系，而且可以證明它是個等價關(guān)系，對此有如下定理：定理6.3.3 代數(shù)系統(tǒng)間的同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系。,證明 顯然?，因為恒等映射是同構(gòu)映射。又若?且f為其同構(gòu)映射，則f-1為從到的同構(gòu)映射。因此，?。再令?

29、及?，則?。這里因為若f為到的同構(gòu)映射，g為到的同構(gòu)映射，則gof為從到的同構(gòu)映射。可見同構(gòu)關(guān)系滿足自反性、對稱性和傳遞性。因此，同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系。,由于同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系，故令所有的代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成一個集合S，于是可按同構(gòu)關(guān)系將其分類，得到商集S/? 。因為同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)具有相同的性質(zhì)，故實際上代數(shù)系統(tǒng)所需要研究的總體并不是S而是S/? 。在同態(tài)與同構(gòu)中有一個特例，即具有相同集合的任兩個代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)，這便是自同態(tài)與自同構(gòu)。,定

30、義6.3.4 給定及f∈SS。f為自同態(tài)映射:=f為從到的同態(tài)映射。f為自同構(gòu)映射:=f為從到的同構(gòu)映射。,6.4 同余關(guān)系,本節(jié)主要闡明同態(tài)與同余關(guān)系之間的聯(lián)系。主要內(nèi)容如下：定義6.4.1 給定且E為S中的等價關(guān)系。E有代換性質(zhì):=(?x1)(?x2)(?y1)(?y2)((x1，x2，y1，y2∈S∧xEx2∧y1Ey2)→(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為中的同余關(guān)系:=E有代換性質(zhì)。,與此同時，稱同余關(guān)系E

31、的等價類為同余類。由定義可知，同余關(guān)系是代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合中的等價關(guān)系，并且在運算的作用下，能夠保持關(guān)系的等價類。即在x1⊙y1中，如果用集合S中的與x1等價的任何其它元素x2代換x1，并且用與y1等價的任何其它元素y2代換y1，則所求的結(jié)果x2⊙y2與x1⊙y1位于同一等價類之中。,亦即若〔x1〕E=〔x2〕E并且〔y1〕E=〔y2〕E，則〔x1⊙y1〕E=〔x2⊙y2〕E。此外，同余關(guān)系與運算密切相關(guān)。如果一個代數(shù)結(jié)構(gòu)中有多個運算，則

32、需要考察等價關(guān)系對于所有這些運算是否都有代換性質(zhì)。如果有，則說該代數(shù)結(jié)構(gòu)存在同余關(guān)系；否則，同余關(guān)系不存在。,例6.4.1 給定，其中I是整數(shù)集合，+和?是一般加、乘法。假設(shè)I中的關(guān)系R定義如下：i1Ri2:=|i1|=|i2|，其中i1、i2?I試問，R為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系嗎？,解 顯然，R為I中的等價關(guān)系。接著先考察R對于+運算的代換性質(zhì)：若取i1,-i1,i2?I，則有|i1|=|-i1|和|i2|=|i2|，于是，下式

33、(i1R(-i1))?(i1Ri2)?(i1+i2)R(-i1+i2)不真。這是因為前件為真，后件為假。故R對于+運算不具有代換性質(zhì)。,至此可以說，R不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。但為了熟悉驗證一個關(guān)系是否為同余關(guān)系，還是來考察R對于?的代換性質(zhì)。令i1,i2,j1,j2?I且i1Ri2和j1Rj2。于是，對任意i1,i2,j1,j2都有：(i1Ri2)和(j1Rj2)?(i1?j1)R(i2?j2)因此，E對于?具有代換性質(zhì)。,可見，

34、考察一個等價關(guān)系E對于有多個運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為同余關(guān)系，這里有個次序先后問題，選擇得好，馬上就考察到了E對某個運算是不具有代換性質(zhì)，那么便可立刻斷定E不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系，否則驗證應(yīng)繼續(xù)下去，直至遇到不具有代換性質(zhì)的運算為止。如果對于所有運算都有代換性質(zhì)，則E為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。,在例6.4.1中，首先發(fā)現(xiàn)R對于+不具有代換性質(zhì)，那么可斷定R不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。如果你首先驗證是R對于?的代換性質(zhì)，結(jié)果R對于?有代換性質(zhì)，至此你只是有

35、希望E是同余關(guān)系，但還得繼續(xù)工作，考察R對于+的代換性質(zhì)，由此結(jié)果才能判定R是否為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。,有了同余關(guān)系的概念后，現(xiàn)在可以給出它與同態(tài)映射的關(guān)系了，請看下面定理：定理6.4.1 設(shè)與是同類型的且f為其同態(tài)映射。對應(yīng)于f，定義關(guān)系Ef如下：xEfy:=f(x)=f(y)， 其中x，y∈S則Ef是中的同余關(guān)系，并且稱Ef為由同態(tài)映射f所誘導的同余關(guān)系。1由于同態(tài)映射不唯一，根據(jù)定理6.4.1，可以推知同余關(guān)系也

36、是不唯一。,6.5 商代數(shù),定義6.5.1 給定及其上的同余關(guān)系E，且由E對S所產(chǎn)生同余類構(gòu)成一個商集S/E。若在S/E中定義運算?如下： [x]E○[y]E=[x⊙y]E 其中[x]E，[y]E∈S/E于是構(gòu)成了一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，則稱的商代數(shù)。,可以看出，給定一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，利用結(jié)構(gòu)中的同余關(guān)系可以構(gòu)造一個新的代數(shù)結(jié)構(gòu)即商代數(shù)，兩者有何聯(lián)系，下面定理指明這一點。,定理6.5.1 給定及其上的商代數(shù)，則?。通常，稱g

37、E為從S到S/E上的正則映射，并且稱gE為從到的與E相關(guān)的自然同態(tài)映射，簡稱自然同態(tài)。此外，容易看出自然同態(tài)gE是滿同態(tài)映射，根據(jù)定理6.3.2可知，代數(shù)結(jié)構(gòu)的各種性質(zhì)在其商代數(shù)中都被保持了下來。,現(xiàn)在，可以利用自然同態(tài)及Ef給出一個有關(guān)同構(gòu)的重要定理。定理6.5.2 設(shè)?且f為其滿同態(tài)映射，Ef為f所誘導的同余關(guān)系，gEf是從到的與Ef相關(guān)的自然同態(tài)，則?。,6.6 積代數(shù),定義6.6.1 設(shè)與是同類型的，而成為新的代數(shù)結(jié)構(gòu)

38、，其中S×T是集合S和集合T的笛卡兒積，且?定義如下： ?=，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。則稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)和的積代數(shù)，而代數(shù)結(jié)構(gòu)和稱為的因子代數(shù)。,類似地可把積代數(shù)的定義推廣到任何兩個同類型的代數(shù)結(jié)構(gòu)。另外，重復地使用定義中的方法，也可以定義任何有限數(shù)目的同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)的積代數(shù)。可以看出，兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)的積代數(shù)，與兩個因子代數(shù)是同一類型的。而且還要注意到，在積代數(shù)的定義中，是用因子代數(shù)中的相應(yīng)運算定義了積代數(shù)中