第六章(三)常用連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布

1、第三節(jié) 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的理論分布,一、正態(tài)分布,正態(tài)分布是最重要的概率分布。因?yàn)? 第一，許多自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象，都可用正態(tài)分布加以敘述； 第二,許多概率分布以正態(tài)分布為其極限； 第三，許多統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布呈現(xiàn)正態(tài)分布。 因此，許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。,（一）正態(tài)分布的概率函數(shù),若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為 其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normal d

2、istribztion)，記為x～N(μ,σ2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為,,,分布密度曲線,99.74%,,68.26%,95.46%,(二) 正態(tài)分布的特征,1. 正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x =μ；2. f(x) 在x=μ處達(dá)到極大，極大值 ； 3. f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；,,4. 曲線在x=μ±σ處各有一個拐點(diǎn)，即曲線在(-∞

3、,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 區(qū)間上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；5. 正態(tài)分布有平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ兩個參數(shù)。μ是位置參數(shù)，σ是變異度參數(shù)。,,,圖1 標(biāo)準(zhǔn)差相同( 1)而平均數(shù)不同( =0、 =1、 =2)的三個正態(tài)分布曲線,,,,,圖2 平均數(shù)相同( 0)而標(biāo)準(zhǔn)差不同( =1、 =1.5、 =2)的三個正態(tài)分布曲線,,,,,6. 分布密度曲線與橫軸所夾面積為1，即：

4、,,正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ的一簇分布。將一般的N(μ，σ2)轉(zhuǎn)換為μ= 0，σ2=1的正態(tài)分布，應(yīng)用就方便了。稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribztion)。,（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作φ(z)和Φ(z)，得：

5、 隨機(jī)變量z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作z～N(0，1)。,,,對于任何一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換： z=(x-μ)／σ將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量z。z稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standard normal deviate)。,（四）正態(tài)分布的概率計(jì)算,１．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算

6、設(shè)z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則z在[z1,z2 ）何內(nèi)取值的概率為： ＝Φ(z2)－Φ(z1)而Φ(z1)與Φ(z2)可由附表查得。,【例】 已知z-N(0，1)，試求： (1) P(z＜-1.64)＝? (2) P (z≥2.58)=? (3) P (｜z｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤z＜1.53) =?,關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)

7、正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： P（-1≤z＜1）=0.6826 P（-2≤z＜2）=0.9546 P（-3≤z＜3）=0.9974P（-1.96≤z＜1.96）=0.95 P (-2.58≤z＜2.58)=0.99,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個常用概率,,99.74%,68.26%,95.46%,z在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(｜z｜≥1

8、)=2Φ(-1)=1- P(-1≤z＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜z｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤z＜2）=1-0.9545=0.0455 P(｜z｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜z｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜z｜≥2.58)=1-0.99=0.01,２．一般正態(tài)分布的概率計(jì)算,正態(tài)分布密度曲線和橫軸圍成的區(qū)域，其面積為1，是一個必然事件。若隨機(jī)變

9、量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區(qū)間[x1, x2）的概率，記作P(x1≤ x＜x2)，等于這部分曲邊梯形面積。即：,對上式作變換z=(x-μ)／σ，得dx=σdz，故有其中，z1=(x1-μ)／σ，z2=(x2-μ)／σ）,,,這表明服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x在[x1，x2）內(nèi)取值的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量z在[(x1-μ)／σ, (x2-μ)／σ）內(nèi)取值的概率。因此，計(jì)算一般正態(tài)

10、分布的概率時，只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。,【例】設(shè)x服從μ=30.26，σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。 令 則z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故 =P(-1.69≤z＜0.53) =Φ(0.53)-Φ(-1.69) =0.7019-0.04551=0.6564,,,,關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個概

11、率是經(jīng)常用到的。 P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6826 P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) =0.9546 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) =0.9974 P (μ-1.96σ≤xμ+1.96σ)=0.95 P (μ-2.58σ≤xμ+2.58σ)=0.99,圖中的點(diǎn) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 的分位點(diǎn)，相當(dāng)于已知,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密度

12、函數(shù)圖形為：,3、正態(tài)分布分位點(diǎn)計(jì)算,正態(tài)分布的分位點(diǎn)的定義：,求其中的,4、單側(cè)概率與雙側(cè)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把隨機(jī)變量 x 落在區(qū)間(μ-kσ,μ+kσ)之外的概率稱為雙側(cè)(兩尾)概率，記作α。對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于μ－kσ或大于μ+kσ的概率，稱為單側(cè)概率，記作α／2。,如，x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即P(x＜μ-1.96σ)=P(x＞μ+1.96σ)

13、=0.025 x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率 P(x＜μ-2.58σ)= P(x ＞ μ+2.58σ)=0.005,（五）二項(xiàng)分布及泊松分布與正態(tài)分布的關(guān)系對于二項(xiàng)分布，在n→∞，p→0，且np=λ(較小常數(shù))情況下，二項(xiàng)分布趨于泊松分布。在這種場合，泊松分布中的參數(shù) λ用二項(xiàng)分布的np代之；在n→∞，p→0.5時，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。在這種場合，正態(tài)分布中的 μ、σ2用二項(xiàng)分布

14、的np、npq代之。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)p＜0.1且n很大時 ， 二項(xiàng)分布可由泊松分布近似；,當(dāng)p＞0.1且n很大時 ，二項(xiàng)分布可由正態(tài)分布近似。對于泊松分布，當(dāng)λ→∞時，泊松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)λ≥20時，用泊松分布中的λ代替正態(tài)分布中的μ及σ2，即可由后者對前者進(jìn)行近似計(jì)算。,二、抽樣分布與中心極限定理,研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手：一是從總體到樣本，這就是研

15、究抽樣分布(sampling distribution)的問題； 二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計(jì)推斷(statistical inference)問題。,(一)抽樣分布的含義與無偏估計(jì)量1、抽樣分布的含義：統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。由總體中隨機(jī)地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)量也將隨樣本的不同而有所不同。因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，也有其概率分布，我們把統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分

16、布。,2、無偏估計(jì),在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，如果所有可能樣本的某一統(tǒng)計(jì)數(shù)的平均數(shù)等于總體的相應(yīng)參數(shù)，則稱該統(tǒng)計(jì)數(shù)為總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)值。,設(shè)有一N=3的總體，具有變量3，4，5；求得μ=4，σ2=0.6667， σ=0.8165現(xiàn)以n=2作獨(dú)立的回置抽樣，總共得Nn=32=9個樣本。抽樣結(jié)果列入下表：,N=3 n=2時抽樣的平均數(shù) 方差 標(biāo)準(zhǔn)差,從上表的資料可以求出:樣本平均數(shù)的平均數(shù)μx=4樣本方差的平均數(shù)μS2=0.6667=σ2

17、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的平均數(shù)μS=0.6285≠0.8165=σ 所以，惟有樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的平均數(shù)不是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的無偏差估計(jì)值。其余兩個參數(shù)為無偏差估計(jì)值。,(二)樣本平均數(shù)的抽樣分布,1、樣本平均數(shù)抽樣分布的含義及其參數(shù)　　　　　　　　　設(shè)有一個總體 ，總體平均數(shù)為μ,方差為σ2，總體中各變數(shù)為xi，將 此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為 ?？梢栽O(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。

18、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,總體,隨機(jī)樣本1 2 3 無窮個樣本,……,圖 總體和樣本的關(guān)系,如圖從一個總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣可以得到許多樣本，如果總體是無限總體，那么可以得到無限多個隨機(jī)樣本。,如果從容量為N的有

19、限總體抽樣，若每次抽取容量為n的樣本，那么一共可以得到 個樣本(所有可能的樣本個數(shù))。 抽樣所得到的每一個樣本可以計(jì)算一個平均數(shù)，全部可能的樣本都被抽取后可以得到許多平均數(shù)。 如果將抽樣所得到的所有可能的樣本平均數(shù)集合起來便構(gòu)成一個新的總體，平均數(shù)就成為這個新總體的變量。 由平均數(shù)構(gòu)成的新總體的分布，稱為平均數(shù)的抽樣分布。 隨機(jī)樣本的任何一種統(tǒng)計(jì)數(shù)都可以是一個變量，這種變量的分

20、布稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布。,除平均數(shù)抽樣分布外還有總和數(shù)、方差的抽樣分布等。,,,由這些樣本算得的平均數(shù)與原總體平均數(shù)μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的，稱為抽樣誤差(sampling error)。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為 和 。,是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明

21、總體的兩個參數(shù)與x 總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：,,,,2、中心極限定理　　設(shè)有一個N=4的有限總體，變數(shù)為2，3，3，4。根據(jù)μ=Σx／N和σ2=Σ(x-μ)2／N求得該總體的μ、σ2、σ為： μ=3，σ2=1／2，σ=1/21/2=0.707,,從有限總體作回置隨機(jī)抽樣，所有可能的樣本數(shù)為Nn其中n為樣本含量 。以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本，共可得 42=16 個樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個樣

22、本。分別求這些樣本的平均數(shù) ，其次數(shù)分布如下表所示。在n=2的試驗(yàn)中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,=4/16=1/4=(1/2)/2= σ2/n,,,,表 N=4, n=2和n=4時的次數(shù)分布,,同理，可得n=4時：驗(yàn)證了 的正確性。也可以將表中兩個樣本平均數(shù)的抽樣總體作次數(shù)分布圖。,,,,,,由以上模擬抽樣試驗(yàn)可以看出，雖然原總體

23、并非正態(tài)分布，但從中隨機(jī)抽取樣本，即使樣本含量很小，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量 n 的增大，樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。當(dāng)n＞30時， 的分布就近似正態(tài)分布了。X變量與 變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個定理說明：,（1） 若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)；x1、x2、…、xn，是由x 總體得來的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 =Σx／n的概率分布也是正態(tài)分布，且有

24、 ， 即服從正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。（2） 若隨機(jī)變量x服從平均數(shù)是μ，方差是σ2的分布(不是正態(tài)分布)； x1、x2、…、xn，是由此總體得來的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=Σx／n的概率分布，當(dāng)n相當(dāng)大時逼近正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。這就是中心極限定理。,,,,,中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續(xù)型還是離

25、散型，也無論x服從何種分布，一般只要n＞30，就可認(rèn)為 的分布是正態(tài)分布。若x的分布不很偏斜，在n＞20時 ， 的分布就近似于正態(tài)分布了。,由中心極限定理知，只要樣本容量適當(dāng)大，不論總體分布形狀如何，其 的分布都可看作為正態(tài)分布，且具平均數(shù) 和方差 。在實(shí)際應(yīng)用上，如n>30就可以應(yīng)用這一定理。,,,,平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化分布是將上述平均數(shù) 轉(zhuǎn)換為z變數(shù)。,,３、標(biāo)準(zhǔn)誤,標(biāo)準(zhǔn)誤(平均數(shù)抽樣總體

26、的標(biāo)準(zhǔn)差) 的大小反映樣本平均數(shù) 的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。標(biāo)準(zhǔn)誤大，說明各樣本平均數(shù) 間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之， 小，樣本平均數(shù)的精確性高。 的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因?yàn)棣沂且怀?shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù) 的抽樣誤差。,,,在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ往往是未知的，因而無法求得 。此時，可用

27、樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)σ。于是，以 估計(jì) 。記 為 ， 稱作樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值。若樣本中各觀測值為 x1、x2、…、xn，則,注意：樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計(jì)量。二者的區(qū)別是樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是反映樣本中各觀測值的變異程度，它的大小說明了 對該樣本代表性的強(qiáng)弱。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù) 的

28、標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計(jì)值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。,,(二) 兩個獨(dú)立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布,假定有兩個正態(tài)總體各具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 和 ， ，從第一個總體隨機(jī)抽取n1個觀察值，同時獨(dú)立地從第二個總體隨時機(jī)抽取n2個觀察值。這樣計(jì)算出樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 ，s1和 ，s2。,,,,,,,從統(tǒng)計(jì)理論可以推導(dǎo)出其樣本平均數(shù)的差數(shù)( )的抽樣分布，具有以下特

29、性：,(1) 如果兩個總體各作正態(tài)分布，則其樣本平均數(shù)差數(shù)( )準(zhǔn)確地遵循正態(tài)分布律，無論樣本容量大或小，都有N( ， )。,,,(2) 兩個樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)必等于兩個總體平均數(shù)的差數(shù)，即,(3) 兩個獨(dú)立的樣本平均數(shù)差數(shù)分布的方差等于兩個總體的樣本平均數(shù)的方差總和，即

30、 其差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：,,這個分布也可標(biāo)準(zhǔn)化，獲得z值。,,小結(jié)：若兩個樣本抽自于同一正態(tài)總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布不論容量大小亦作正態(tài)分布具：,,若兩個樣本抽自于同一總體，但并非正態(tài)總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布按中心極限定理在n1和n2相當(dāng)大時(大于30)才逐漸接近于正態(tài)分布。若兩個樣本抽自于兩個非正態(tài)總體，當(dāng)n1和n2相當(dāng)大、而 與 相差不太遠(yuǎn)時，也可近似地應(yīng)用正態(tài)接近方法估計(jì)平均數(shù)差數(shù)出現(xiàn)的概率，當(dāng)然這

31、種估計(jì)的可靠性得依兩總體偏離正態(tài)的程度和相差大小而轉(zhuǎn)移。,,,[例] 假定第一個總體包括3個觀察值，2、4和6 (N1=3,n1=2)，所有樣本數(shù)為Nn=32=9個，總體平均數(shù)和方差 =4， =8/3。第二個總體包括2個觀察值，3和6 (N2=2)，抽出的樣本容量為3(n2=3)，所以所有樣本數(shù)為23=8個，總體平均數(shù)和方差 =4.5， =2.25?，F(xiàn)將上述兩個總體 的次數(shù)分布列于表１，并計(jì)算出其分布的

32、參數(shù)。,,,,,,將第一總體的9個樣本平均數(shù)和第二總體的8個樣本平均數(shù)作所有可能的相互比較，這樣共有9×8=72個比較或72個差數(shù)，這72個差數(shù)次數(shù)分布列于表２和表３。,表１ 從兩個總體抽出的樣本平均數(shù)的次數(shù)分布表,,,,,表２ 樣本平均數(shù)差數(shù)的次數(shù)分布表,,,表３ 樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)和方差計(jì)算表,,f,由表３可算得,,,,,,而,這與均相同。,(三)二項(xiàng)總體的抽樣分布,１、 二項(xiàng)總體的分布參數(shù)（成數(shù)）,,

33、,,標(biāo)準(zhǔn)差:,方差:,平均數(shù):,２、 樣本平均數(shù)(成數(shù))的抽樣分布,從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，樣本平均數(shù)（成數(shù)）抽樣分布的參數(shù)為：,平均數(shù):,方差:,標(biāo)準(zhǔn)誤:,,,(四)不重復(fù)抽樣的修正系數(shù),前所講的抽樣分布和抽樣平均誤差的計(jì)算公式，都是就重復(fù)抽樣而言的?？梢宰C明，采用不重復(fù)抽樣時，平均數(shù)和比例的抽樣平均誤差應(yīng)為：,,可見，不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差公式比重復(fù)抽樣的相應(yīng)公式多一個系數(shù) 這個系數(shù)稱為不重復(fù)抽樣修正系

34、數(shù)。當(dāng)N很大時， （其中：n/N為抽樣比例）。 實(shí)際中，當(dāng)抽樣比例很小時，（一般認(rèn)為小于5%），不重復(fù)抽樣的抽樣誤差常采用重復(fù)抽樣的公式計(jì)算。,三、t 分布,1、t 分布的定義： 若x～N(μ, σ2)， 則 ～N(μ, σ2/n)。 將隨機(jī)變量 標(biāo)準(zhǔn)化得： ，則z～N(0,1)。 當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時， 以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ所得到的統(tǒng)計(jì)量 記為

35、t。在計(jì)算 時，由于采用S來代替σ，使得t 變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從t分布(t－distribztion)。它的概率分布密度函數(shù)如下：,式中，t的取值范圍是（-∞，+∞）； df=n-1為自由度。,,,Γ- 函 數(shù),參考,自由度df(degree of freedom )的含義,df=k=n-1,T 分布密度曲線,2、t 分布的圖形特征,?t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要

36、比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布。,（1）t 分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條t分布密度曲線。（2）t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在t＝0時，分布密度函數(shù)取得最大值。（3）與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,3、 分布分位點(diǎn)計(jì)算,在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常對給定

37、的 分布求它的分位點(diǎn)而不是求其概率。其分位點(diǎn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同。,四、 分布（卡方分布）,分布是統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到的一個分布，通常是由 n 個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和得到。它的概率密度函數(shù)為：,假設(shè)從正態(tài)總體中抽取k個獨(dú)立樣本z12 、z22 、z32 、…、zk2 ,則定義它們的和為x2 ， x2具有自由度df=n-1的連續(xù)型變量的分布,不同的自由度的x2分布曲線不同。附表7列出了各種自由度下的x2分布

38、的一尾(右尾)概率。例x0.052（2）=5.99，x0.012（2）=9.21。,x2分布的特征：,1．x2分布于區(qū)間[0，∞+）；2．x2分布的偏斜度隨自由度降低而增大，df=1時，曲線以縱軸為漸進(jìn)線；3．隨自由度增大x2分布曲線趨于左右對稱，當(dāng)df=30時，x2分布接近正態(tài)分布。,分布的分布圖形為：,分布密度的圖形隨自由度n的不同而變化，當(dāng)n很大時接近正態(tài)分布,分布分位點(diǎn)計(jì)算,在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常對給定的 分布求它的分位

39、點(diǎn)而不是求其概率。其分位點(diǎn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同。,五、 F分布,1、F分布的定義：設(shè)從一正態(tài)總體N(μ,σ2)中隨機(jī)抽取樣本容量為n1和 n2的兩個獨(dú)立樣本，其樣本方差為s12和s22，則定義s12/ n1和s22 / n2的比值為F。此F值具有s12的自由度df1=n1-1和s22的自由度df2=n2-1 。如果對一個正態(tài)總體特定的df1和df2進(jìn)行 一系列隨機(jī)抽樣，則所有可能的F值構(gòu)成一個F分布。F分布記作F（ m， n ）。

40、m、n分別表示df1、df2。,分布的概率分布密度,分布也是統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到的一個分布，通常是由相互獨(dú)立的自由度分別為m和n 的 ， 分布的函數(shù)得到。它的概率密度函數(shù)為：,2、F 分布的特征：,（1）F的取值區(qū)間[0，∞）；（2）F分布曲線僅決定于df1和df2 。df1=1或2時，曲線為反J型；當(dāng)df1≥3時，轉(zhuǎn)為偏態(tài)曲線。F分布概率查附表8，如df1=4 ，df2=10時，F(xiàn)0.05=3.48,