第2章 隨機(jī)變量及其分布

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2.1 隨機(jī)變量,§2.2 離散型隨機(jī)變量的概率分布,§2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),§2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,§2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,§2.1 隨機(jī)變量,我們知道隨機(jī)事件是由基本事件構(gòu)成的，前面我們所給出的定義無(wú)論是基本事件還是隨機(jī)事件都是用文字?jǐn)⑹鼋o出，這有兩個(gè)缺憾，一是非常繁瑣，二是盡管事件可以看成子集（樣本空間的子集）但

2、是文字?jǐn)⑹鰠s不符合數(shù)學(xué)的研究特點(diǎn)，因此為了更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象，我們就需要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，也就是用某一變量取得各種不同的數(shù)值來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣就引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念．,(1) 在隨機(jī)現(xiàn)象中,有很多樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量表示的,由于樣本點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)性,其數(shù)量呈現(xiàn)為隨機(jī)變量.如:,①投擲一顆骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.,②每天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)Y;顧客購(gòu)買商品的件數(shù)U;顧客排隊(duì)付款的時(shí)間V. Y、U、V是三個(gè)不同的

3、隨機(jī)變量.,③電視機(jī)的壽命T是一個(gè)隨機(jī)變量.,④測(cè)量的誤差?是一個(gè)隨機(jī)變量.,若用數(shù)字“1”代表事件“出現(xiàn)正面”， 用數(shù)字“0”代表事件“出現(xiàn)反面”，,(2)在隨機(jī)現(xiàn)象中,還有不少樣本點(diǎn)本身不是數(shù),這時(shí)可根據(jù)需要設(shè)計(jì)隨機(jī)變量.如:,則構(gòu)造隨機(jī)變量X：S ?{0,1}，即X(H)=1， X(T)=0,此時(shí)，隨機(jī)變量 X 隨基本事件的變化而變化，當(dāng)基本事件確定，對(duì)應(yīng)值 X 也相應(yīng)確定．,設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S＝{e} ，如果

4、對(duì)于每一個(gè) e ∈S，都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值實(shí)值函數(shù)X=X(e), 稱為 隨機(jī)變量. 常用字母X,Y,ξ,η,等表示隨機(jī)變量．,定義,隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值集函數(shù)，它與普通的實(shí)函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別．一方面它的取值是隨機(jī)的，而它取每一個(gè)可能值都有一定的概率；另一方面，它的定義域是樣本空間S，而S不一定是實(shí)數(shù)集．,,S,,e,,X(e),,,R,,隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量,非離散型的隨

5、機(jī)變量,,（取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值）,-----連續(xù)型隨機(jī)變量．,隨機(jī)變量的概念在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中既是基本的， 又是非常重要的．后面將會(huì)看到，由于引入了隨機(jī)變量， 高等數(shù)學(xué)的方法就可用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象了．,例1 一袋中有6個(gè)球，分別標(biāo)有 1,2,2,2,3,3，從袋中任 取一個(gè)球， 觀察出現(xiàn)的數(shù)字．,當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果本身是用數(shù)量描述的，這時(shí)構(gòu)造隨機(jī)變量最容易．,解：樣本空間 S＝｛e1，e2，e3},

6、 其中e1＝｛出現(xiàn)數(shù)字1｝，e2＝｛出現(xiàn)數(shù)字2｝， e3＝｛出現(xiàn)數(shù)字3｝. 構(gòu)造隨機(jī)變量X：S ?｛1,2,3｝， 即 X(e1)=1， X(e2)=2， X(e3)=3,例3 某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是 p (0<p<1)，現(xiàn)在他連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到第一次擊中目標(biāo)為止，則射擊次數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，X 可以取到一切自然數(shù)．,§2.2 離

7、散型隨機(jī)變量的概率分布,一、基本概念,定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為 xk ，k =1，2，… X 取各個(gè)可能值的概率為 pk , 即 P{ X=xk }= pk ， k =1，2，… (2.1) 稱(2.1) 式為離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布或分布律.,離散型隨機(jī)變量的分布律：,例1 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈

8、,每盞信號(hào)燈以概率 p 禁止汽車通過(guò). 以 X 表示汽車首次停下時(shí), 它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的). 求 X 的分布律.,或?qū)懗?解: X 的可能取值為 0, 1, 2, 3, 4， 故 X 的分布律為,例2 設(shè)袋中有4個(gè)紅球, 1個(gè)白球, 今從袋中隨機(jī)抽取兩次, 每次取一個(gè), 設(shè) X 表示所取得的白球數(shù), 試分兩種情況: (1) 放回抽取; (2)不放回抽取. 分別求出 X 的分布律.,離散型隨機(jī)變量

9、 X 的概率函數(shù)或分布律完全刻劃了離散型隨機(jī)變量的分布情況.已知 X 的分布律 ,可以求得這個(gè)隨機(jī)變量 X 所對(duì)應(yīng)的樣本空間中任何隨機(jī)事件的概率.,二、幾種常見的離散型隨機(jī)變量,1.(0-1)分布,(1)相互獨(dú)立試驗(yàn) 將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次, 若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響, 即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果, 則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.,2.二項(xiàng)分布,(3)貝努利試驗(yàn)的特性 設(shè)X表示n重貝努利試驗(yàn)中A事件發(fā)生

10、的次數(shù). 則X是一個(gè)隨機(jī)變量, X 的可能值為0,1,2,…,n.,若隨機(jī)變量X的分布律為 則稱X 服從參數(shù)為 n,p 的二項(xiàng)分布，記作 X~b(n,p )．,(2)二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布是一種常見的離散型分布.如:,下面通過(guò)實(shí)例來(lái)觀察二項(xiàng)分布隨著 k 取值的不同而變化的情況．,例1 設(shè)有20臺(tái)機(jī)床，獨(dú)立地各加工一件齒輪，若各機(jī)床加工的廢品率都是0.2，求20件齒輪產(chǎn)品中的廢品數(shù)的分

11、布律?,表中當(dāng)k≥11時(shí)，P{X=k}<0.001．為了對(duì)此結(jié)果有一個(gè)直觀的了解，我們將表中數(shù)據(jù)用圖形來(lái)表示．,從上圖中可看到，概率P{X=k}先是隨 k 的增加而單調(diào)上升，當(dāng)k增加到4時(shí)，P{X=k}取得最大值0.218，然后P{X=k}再隨著 k 的增加而單調(diào)下降．一般來(lái)講，對(duì)于固定的n和p，二項(xiàng)分布 b(n,p)都具有這一性質(zhì)．,解: 設(shè)k=N 時(shí)P{X=k}為最大,則有不等式

12、 解得,例2 某人進(jìn)行射擊, 每次射擊的命中率為0.02, 獨(dú)立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.,解: 設(shè)X表示擊中的次數(shù), 則X ~ b(400,0.02),上式計(jì)算較繁索,下面給出一個(gè)近似公式：,,泊松定理：設(shè)　　　是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)　　　　，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有,利用此定理解上例,(3) 泊松分布,若隨機(jī)變量X的分布律

13、為 其中? >0是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為 ? 的泊松分布，記作 ．,可以驗(yàn)證,泊松分布是一種常見的離散型分布,它常與單位時(shí)間(或單位面積、單位產(chǎn)品等)上的計(jì)數(shù)過(guò)程相聯(lián)系.如:,都服從泊松分布.因此泊松分布的應(yīng)用面是十分廣泛的.,例3 已知某電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼叫次數(shù)X服從參數(shù)? =4的泊松分布，求：(1) 每分鐘恰好接到3次呼

14、喚的概率; (2) 每分鐘內(nèi)接到呼喚的次數(shù)不超過(guò)4次的概率.,解 (1),例4 設(shè)某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為 5 的泊松分布,問在月初要庫(kù)存多少此種商品才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.99977 ?,解: 設(shè)X表示銷售數(shù)量, n為庫(kù)存數(shù)量,則,查表得 n=14,由定義，事件“x1 x}＝1-P{X?x}=1-F(x),§2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),因而,一般地，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X 來(lái)講，如果其概率

15、分布律為 , k=1,2,… 其中x1<x2<…則X的分布函數(shù)為 F(x)是階梯形曲線，x =x1，x2，… 為F(x)的跳躍點(diǎn)，其跳躍值分別為p1 , p2 ,… ．,(2)解法一,解法二,例2 一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能 中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．,解 (1) 當(dāng)x&

16、lt;0時(shí)，事件{X≤x}為不可能事件，于是 F(x)= P{X≤x}=0,(2) 當(dāng)0≤x≤2時(shí)，P{0≤X ≤x}=cx2 (c為待定常數(shù)) 又因?yàn)閧0≤X≤2}為必然事件,故 1= P{0≤X≤2} 故 于是,(3)當(dāng)x>2時(shí),{ X≤x}為必然事件,于是 F(x)= P{X≤x}=1,綜上所述,本例中的分布函數(shù)F(x)的圖形是一條連續(xù)曲線，且對(duì)于任意x

17、均有 其中 這說(shuō)明隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)F(x)恰好是某個(gè)非負(fù)函數(shù) f(x) 在(-∞,x]上的積分，這種情況的隨機(jī)變量X稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.這就是我們下節(jié)中要研究的連續(xù)型隨機(jī)變量．,§2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,注：公式(4.1)和(4.2)表示了分布函數(shù)與概率密度間的 兩個(gè)關(guān)系．利用這些關(guān)系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概 率密度中的一個(gè)

18、推出另一個(gè)．,2.概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)：,o,x,0 x,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何意義：F(x)等于曲線 f(x)在(-∞，x]上的曲邊梯形的面積(見圖1). 說(shuō)明曲線 f(x)與x 軸之間的面積等于1(見圖2).而性質(zhì)(3)表示P{x1<X≤x2}等于曲線 f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的曲邊梯形的面積(見圖3).,圖1,圖2,圖3,x,F(x),f(x),f

19、(x),1,例1 已知 是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī) 變量的概率密度, 試確定常數(shù) c.,解: 由概率密度函數(shù)的性質(zhì) 得 即 c=2,例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為試求(1)常數(shù)A的值. (2) X 的分布函數(shù)F(x) (3),X,例3 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概

20、率密度為 求 :(1)系數(shù)A (2)P{-1/2<X≤1/2｝ (3)F(x),(2),(3),當(dāng)x < -1時(shí)，,當(dāng)-1≤x <1時(shí)，,當(dāng)x ≥1時(shí)，,故,因此，在討論連續(xù)型隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率時(shí)，可以不必分該區(qū)間是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開區(qū)間，因?yàn)?P{a<X<b}= P{a<X≤b}= P{a≤X<b}= P{a≤X≤b

21、}.,除了離散分布和連續(xù)分布以外,還有既非離散又非連續(xù)的分布.見下例:,從圖上可以看出:它既不是階梯函數(shù),又不是連續(xù)函數(shù),所以它既非離散的又非連續(xù)的分布.它是新的一類分布.本書將不研究此類分布,只是讓大家知道,需要不斷的學(xué)習(xí)與研究.,5.幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量,(一)均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記作X～ U(a,b).,,顯然，f(x)≥0，且 由(4.1)式可得

22、X的分布函數(shù)為,性質(zhì) (1) (2)若隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，則對(duì)任意 滿足a≤c<d≤b的c和d，有 上式說(shuō)明X落入(a,b)中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，這就是均勻分布的概率意義.,例4 設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在800歐～1000歐，求R的概率密度及R落在850歐～950歐的概率.,解: 由題意，R的概率密度為,而,(二) 指數(shù)分布,若隨機(jī)變

23、量X的概率密度為 為常數(shù)且大于零, 則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,顯然，f(x)≥0，且由(4.1)式可得X的分布函數(shù)為：,[注] 因?yàn)橹笖?shù)分布隨機(jī)變量只可能取非負(fù)實(shí)數(shù),所以指數(shù)分布常被用作各種“壽命”分布,如:電子元件的壽命、動(dòng)植物的壽命、電話的通話時(shí)間、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等等都可假定服從指數(shù)分布.指數(shù)分布在可靠性與排隊(duì)論中有著廣泛的應(yīng)用.,例5 設(shè)某種燈泡的使用壽命為X，其概率密度為 求:(

24、1)此種燈泡使用壽命超過(guò)100小時(shí)的概率. (2)任取5只產(chǎn)品, 求有2只壽命大于100小時(shí)的概率.,(三) 正態(tài)分布,若隨機(jī)變量X的概率密度為其中 為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為,由(4.1)式可得正態(tài)分布的分布函數(shù)為,,,,,,正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)具有如下性質(zhì),1. 曲線關(guān)于直線 對(duì)稱，當(dāng)

25、 時(shí)，有,3. 在 處曲線 f(x) 有拐點(diǎn)，且曲線以x軸為水 平漸近線.,,,,4. 若固定 ，而改變值 ，則曲線 f(x)的圖形沿x軸平行 移動(dòng)，而曲線形狀不變，如圖1所示.,5. 若固定 ，改變值 ， 越大，曲線越平坦， 越 小，曲線越陡峭，這時(shí) X 落入 ? 附近的概率越大. 如 圖2所示.,,6.當(dāng)

26、參數(shù) 時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 記作X～N(0,1)，對(duì)應(yīng)的概率密度與分布函數(shù)分別 用 與 來(lái)表示,即,與 的性質(zhì),(1) 是偶函數(shù)，即 (2) 當(dāng)x=0時(shí)， 取得最大值 ; (3)Φ(-x)=1-Φ(x),為了便于計(jì)算, 人們已經(jīng)編制了 的函數(shù)表即371頁(yè)附表2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,

27、例6 已知 , 求,解:,對(duì)于服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，要計(jì)算X落入?yún)^(qū)間(a,b)的概率，可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算.,引理設(shè) ，則,例7 設(shè)X～N(1.5，4),計(jì)算:(1) P{X2};(4) P{｜X｜<3}.,解 (1) P{X<3.5} = F(3.5) = Φ( )=Φ(1)=0.8413,

28、(2) P{X<－4} = F(－4) = Φ( )=Φ(－2.75)=1－ Φ(2.75) =1－0.9970=0.003,(3) P{X>2} = 1－P{X≤2｝= 1－F(2) = 1－ Φ( ) =1－Φ(0.25) =1－0.5987

29、=0.4013,(4) P{｜X｜<3}= P{－3<X<3}=F(3)－F(－3) =Φ(0.75)－[1－Φ(2.25)] =0.7734－(1－0.9878) =0.7612,例8 已知 ，分別求落入?yún)^(qū)間[ __ , + ]；[ __2 , +2

30、 ]；[ __3 , +3 ]內(nèi)的概率.,從上式三個(gè)數(shù)據(jù)中可以看到，對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，它的值落入?yún)^(qū)間 [ -3 , +3 ]內(nèi)幾乎是肯定的事，這就是所謂的“3 法則”.,(2)類似地， P{ __2 ≤X≤ + 2 ｝=2Φ(2) __1 =2 0.9772_

31、_1=0.9544,(3) P{ __ 3 ≤X≤ +3 ｝=2Φ(3) __1 =2 0.9987__1=0.9974,解 (1) =Φ(1) __Φ(__1)=2Φ(1) __1=2 0.8413__1=0.6826,,例9 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi), 調(diào)節(jié)器整定在

32、 ，液體的溫度Ｘ（以C計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且 . (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問d 至少為多少?,解: (1)所求概率為,(2) 按題意要求d 滿足,亦即,即,故需,定義,設(shè) , 若 滿足條件則稱點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

33、分布的上 分位點(diǎn)(如圖),§2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,在分析和解決實(shí)際問題時(shí)，常常會(huì)遇到一些隨機(jī)變量，它們的分布難于直接得到，但其與一些已知隨機(jī)變量之間具有函數(shù)關(guān)系.本節(jié)主要解決如何由隨機(jī)變量X的概率分布求出隨機(jī)變量Y=g(X)的概率分布.,對(duì)于隨機(jī)變量X的函數(shù)的分布的討論分兩部分一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,即：P{X－1=－2｝=P{

34、X=－1｝=1/5 P{－2X=2｝=P{X=－1｝=1/5 P{ =1｝=P{X=1｝+P{X=－1｝ =1/10+1/5=3/10等等，由此可定出,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，需要由隨機(jī)變量X的概率密度 去求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度. 解決這類問題的方法是：第一步求出Y的分布函數(shù)

35、的表達(dá)式，第二步利用連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系，求導(dǎo)數(shù)即可得到.,例2 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 求 Y=2X+8 的概率密度.,解 先求Y=2X+8的分布函數(shù),于是，得 Y=2X+8的 概率密度為,例3 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 ， 求Y= 的概率密度.,解 先求Y的分布函

36、數(shù) . 因?yàn)?故當(dāng)y≤0時(shí)， =P{Y≤y｝=0 當(dāng) y>0 時(shí)， =P{－ ≤X≤ }= 于是，得Y的概率密度為,例如 , 設(shè) , 其概率密度為則 的概率密度為,,定理 設(shè)隨機(jī)變量X具

37、有概率密度 , 又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且有 (或恒有 ) 則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為 其中 h(y)是g(x)的反函數(shù).,注: 若g(x)不是

38、單調(diào)函數(shù)不能用此定理 若 在有限區(qū)間[a，b]以外等于零，則只需假設(shè)在 [a，b]上恒有 （或恒有 ），此時(shí),例4 設(shè)電壓 ,其中A 是一個(gè)已知的正常數(shù), 相角 是一個(gè)隨機(jī)變量, 在區(qū)間 服從均勻分布,試求電壓 V 的概率密度.,解: 由于

39、 在 上恒有 , 且有反函數(shù) 又 的概率密度為 由定理得 的概率密度為,,解: X的概率函數(shù)為 現(xiàn)在y=g(x)=ax+b, 由這一式子解得

40、 , 且有 由定理得Y=aX+b的概率密度為,第二章小結(jié),本章要求,(1)理解隨機(jī)變量的概念,離散型隨機(jī)變量及概率函數(shù)(分布律)的概念和性質(zhì);連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì).(2)理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì),會(huì)利用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率.(3)掌握常見分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的相關(guān)的性質(zhì).(4)會(huì)求簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量函數(shù)的分布.,,?隨機(jī)變量的分類

41、： 離散型 隨機(jī)變量 連續(xù)型 非離散型 其它,,3.隨機(jī)變量的分布函數(shù) ?定義:設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x?(-?,+?),函數(shù) F(x)=P{X ?x},稱為X的分布函數(shù),?對(duì)任意實(shí)數(shù)x1 , x2 (x1< x2 ),有,,? 分布函數(shù)的性質(zhì),(

42、1),(3),(4) F(x)是右連續(xù)的,即F(x+0)=F(x),*,*,(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù),分布函數(shù):,,(2) 連續(xù)型隨機(jī)變量,¤,#,¤,*,*,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,,(一) 均勻分布,(二) 指數(shù)分布,(三) 正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,,注： 1° 若 , 則

43、 2°若 ，則它的分布函數(shù)為 3°對(duì)于任意區(qū)間 ，有,,4 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度,方法：由隨機(jī)變量X的

44、概率密度 去求 隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度. (1) 求出Y的分布函數(shù)的表達(dá)式; (2) 由分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，即可得到.,,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,,以下我們對(duì)密度函數(shù)與分布律的異同點(diǎn)作一些說(shuō)明,從這個(gè)意義上講,概率密度函數(shù)與概率分布律所起的作用是類似的.但它們之間的差別也是明顯的,具體有:,相同點(diǎn),不同點(diǎn),(1)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)總是