離散數(shù)學(xué)第六章 1

1、第六章 幾個典型的代數(shù)系統(tǒng),6.1 半群與群 6.1.1 半群與獨(dú)異點(diǎn) 6.1.2 群的定義與性質(zhì) 6.1.3 子群 6.1.4 陪集與拉格朗日定理 6.1.5 正規(guī)子群與商群 6.1.6 循環(huán)群和置換群6.2 環(huán)與域 6.2.1 環(huán)的定義與性質(zhì) 6.2.2 整環(huán)與域6.3 格與布爾代數(shù),6.1 半群與群,半群、可交換半群和獨(dú)異點(diǎn)定義6.1 ①設(shè)V=是

2、代數(shù)系統(tǒng), ?為二元運(yùn)算,如果?是可結(jié)合的, 則稱V為半群．② 如果半群V=中的二元運(yùn)算含有幺元, 則稱V為含幺半群, 也可叫做獨(dú)異點(diǎn).定義6.2 如果半群V=中的二元運(yùn)算?是可交換的, 則稱V為可交換半群.注: 為了強(qiáng)調(diào)幺元的存在, 有時將獨(dú)異點(diǎn)記為,6.1.1 半群與獨(dú)異點(diǎn),例6.1 ① 是半群② ,,,都是半群和獨(dú)異點(diǎn)，其中+表示普通加法,幺元是0,,…,③是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中·表示矩陣乘法,矩陣乘法的幺元

3、是n階單位矩陣E.記作④ 是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中?表示集合的對稱差運(yùn)算, 其幺元是?, 記作⑤ 是半群和獨(dú)異點(diǎn), 其中Zn ={0,1,…,n-1}, ?表示模n加法, 模n加法的幺元是0. 其中: ① ②④⑤ 為可交換半群.,6.1.1 半群與獨(dú)異點(diǎn),6.1.1 半群與獨(dú)異點(diǎn),例6.2 判斷下述論斷正確與否, 在相應(yīng)的括號中鍵入“Y”或“N”.(1) 在實數(shù)集R上定義二元運(yùn)算*為：對于任意的a,b∈R, a*b=a+b+ab

4、 (a) 是一個代數(shù)系統(tǒng)；( ) (b) 是一個半群； ( ) (c) 是一個獨(dú)異點(diǎn)。( )(2) 在實數(shù)集R上定義二元運(yùn)算?為, 對任意 a,b∈R, a?b=|a|·b (其中·表示數(shù)學(xué)的乘法運(yùn)算) (a) 是一個代數(shù)系統(tǒng)； ( ) (b) 是一個半群； ( ) (c) 是一個獨(dú)異點(diǎn)。 ( ),N,Y,Y,Y,Y,Y,子半群和

5、子獨(dú)異點(diǎn)定義: 半群的子代數(shù)叫做子半群,即: 如果V=是半群, 就是V的子半群,需要滿足如下兩個條件:① T是S的非空子集;② T對V中的運(yùn)算?是封閉的.定義: 獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn),對獨(dú)異點(diǎn)V=, 構(gòu)成V的子獨(dú)異點(diǎn),需要滿足如下條件:① T是S的非空子集;② T要對V中的運(yùn)算?封閉;③ e∈T.,6.1.1 半群與獨(dú)異點(diǎn),群的定義定義6.3 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng),?為二元運(yùn)算.如果?是可結(jié)合的,存在幺元e∈G,并且

6、G中的任意元素x,都有x-1∈G, 則稱G是群.例6.3 ① ,,都是群;② 是群, 其中?表示集合的對稱差運(yùn)算, 任意元素的逆元是其自身;③ 是群,其中Zn={0,1,…,n-1}, ?表示模n加法, 0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x.,6.1.2 群的定義與性質(zhì),6.1.2 群的定義與性質(zhì),e為G中的幺元, ?是可交換的.任何G中的元素與自己運(yùn)算的結(jié)果都等于e.在a,b,c三個元素中,任何兩個元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一

7、個元素.一般稱這個群為Klein四元群.,例6.4 設(shè)G＝{e,a,b,c}, ?為G上的二元運(yùn)算, 它由以下運(yùn)算表給出, 不難證明G是一個群.,6.1.2 群的定義與性質(zhì),群的術(shù)語(1) 若群G中的二元運(yùn)算是可交換的, 則稱群G為交換群, 也叫做阿貝爾(Abel)群．例① , ,都是群, 也是阿貝爾(Abel)群;② 是群, 也是阿貝爾(Abel)群; ③ 是群, 也是阿貝爾(Abel)群.④ Klein四元群也是阿貝爾

8、群．(2) 若群G中有無限多個元素, 則稱G為無限群, 否則稱為有限群, 只含幺元的群為平凡群.例如, , 都是無限群. 是有限群. Klein四元群也是有限群.,6.1.2 群的定義與性質(zhì),群的術(shù)語(3) 群的階: 對于有限群G,G中的元素個數(shù)也叫做G的階, 記作|G|.例如: 是有限群, 其階是n; Klein四元群也是有限群, 其階是4.(4) xn定義: x0=e, xn+1=xn?x, x-n=(x

9、-1)n(5) 元素x的階: 設(shè)G是群,x∈G,使得xk＝e成立的最小的正整數(shù)k叫做x的階(或周期).如果不存在正整數(shù)k,使xk＝e, 則稱x是無限階元.注:對有限階的元素x, 通常將它的階記為|x|.在任何群G中幺元e的階都是1．,6.1.2 群的定義與性質(zhì),群的術(shù)語例.在Klein四元群中,|a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=?,返回,6.1.2 群的定義與性質(zhì),群的性質(zhì)定理6.1 設(shè)G為群, 則G中的冪運(yùn)算滿足

10、(群中元素的冪)(1) ?x∈G, (x-1)-1＝x(2) ?x,y∈G, (xy)-1＝y(tǒng)-1x-1(3) ?x∈G, xnxm＝xn+m(4) ?x∈G, (xn)m＝xnm(5) 若G為交換群, 則(ab)n=anbn,定理6.1的證明,(1) a∈G,(a-1)-1＝a(a-1)-1是a-1的逆元，a也是a-1的逆元。（或者：a-1是a的逆元，a也是a-1的逆元。）根據(jù)逆元的唯一性， (a-1)-1＝a。

11、(2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1(b-1a-1)(ab)＝b-1(a-1a)b＝b-1b＝e (ab)(b-1a-1)＝a(bb-1)a-1＝aa-1＝e故 b-1a-1是 ab 的逆元。根據(jù)逆元的唯一性等式得證。,6.1.2 群的定義與性質(zhì),群的性質(zhì)定理6.2 G為群, ?a,b∈G, 則(1) G有唯一的單位元, G中每個元素恰有一個逆元;(2) G適合消去律, 即對任意a,b,c∈G 有

12、 若ab＝ac, 則b＝c; 若ba＝ca, 則b＝c;(3) 單位元是G的唯一的冪等元素;,6.1.3 子群,子群的定義定義6.4 設(shè)群, H是G的非空子集. 如果H關(guān)于G中的運(yùn)算*構(gòu)成群, 則稱H為G的子群, 記作H≤G. 若H是G的子群, 且H?G, 則稱H是G的真子群.例如: 在群中, 取2Z＝{2x|x∈Z}, 則2Z關(guān)于加法構(gòu)成的子群. 同樣, {0}也是的子群.注意: 類似于

13、子代數(shù), 任何群G都存在子群, G和{e}是G的平凡子群.,6.1.3 子群,子群的判斷方法判定定理1 設(shè)G為群, H是G的非空子集, H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng): (1) ?a,b?H都有ab?H; (2) ?a?H有a-1?H.判定定理2 設(shè)G為群, H是G的非空子集, 則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)?a,b?H都有ab-1?H.判定定理3 設(shè)G為群, H是G的非空子集. 若H是有窮集, 則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)?a,b?H都有

14、ab?H .,6.1.3 子群,子群的判斷方法例6.5 設(shè)G為群, 對任何x?G, 令H＝{xk|k?Z}, 即x的所有冪的集合, 則H是G的子群, 稱為由元素x生成的子群, 記作.證明:≤G由x?可知不為空.任取H中的元素xm,xl,都有 xm(xl)-1＝xmx-l＝xm-l?H根據(jù)判定定理二可知≤G.,6.1.3 子群,例如, 群中由2生成的子群包含2的各次冪, 20=0, 21=2, 22=2?2=4, 2

15、3=2?2?2=0, 所以 ={0,2,4}.對于Klein四元群G={e,a,b,c}來說, 由它的每個元素生成的子群是 ={e}, ={e,a}, ={e,b}, ={e,c},6.1.3 子群,群的中心 設(shè)G為群,令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合,即 C＝{a|a?G∧?x?G(ax=xa)}, 稱C為群G的中心.,6.1.4 陪集與拉格朗日定理,陪集的定義定義6.4 H是G的子

16、群, a?G, 令Ha={ha|h?H} 稱Ha是子群H在G中的右陪集, 稱a為Ha的代表元素.例6.6 設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群, H={e,a}是G的子群, 那么H的所有右陪集是: He={e,a}=H Ha={e,a}=H Hb={b,c} Hc={c,b} 注: 類似地可以定義左陪集.,6.1.4 陪集與拉格朗日定理,陪集的定義例6.6 設(shè)A={1,2,3}, f1,f2,

17、…,f6是A上的雙射函數(shù), 其中:f1={,,}, f2={,,} f3={,,} f4={,,} f5={,,} f6={,,}令G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}, 則G關(guān)于復(fù)合(本題為右復(fù)合)運(yùn)算構(gòu)成了群, G的子群H={f1,f2}, 求H的全部右陪集. H f1={f1?f1, f2?f1}={f1,f2}=H H f2={f1?f2, f2?f2}={

18、f1,f2}=H H f3={f1?f3, f2?f3}={f3,f5} H f4={f1?f4, f2?f4}={f4,f6} H f5={f1?f5, f2?f5}={f5,f3} H f6={f1?f6, f2?f6}={f6,f4},6.1.4 陪集與拉格朗日定理,陪集的性質(zhì)定理6.3(定理10.7-10.9): 設(shè)H是

19、G的子群, 則He=H?a?G有a?Ha?a,b?G, a?Hb?ab-1?H?Ha=Hb在G上定義關(guān)系R:?a,b?G, ?R?ab-1?H, 則R是G上的等價關(guān)系, 且[a]R=Ha.?a?G, H≈Ha(≈指勢相等)注意: 左陪集的性質(zhì)與此類似.,6.1.4 陪集與拉格朗日定理,Lagrange定理對G的子群H來說, H的左陪集和右陪集一般是不相等的,但左右陪集的個數(shù)是相等的.因此將左右陪集數(shù)統(tǒng)稱為H在G中的陪集數(shù),

20、 也叫做H在G中的指數(shù), 記為[G:H].定理6.4(定理10.10): 設(shè)G是有限群, H是G的子群, 則|G|=|H|[G:H]. 推論1 設(shè)G是n階群, 則?a?G, |a|是n的因子, 且an=e.推論2 對階為素數(shù)的群G, 必存在a?G使得G=.,6.1.5 正規(guī)子群和商群,正規(guī)子群定義6.5 設(shè)H是G的子群, 如果?a?G都有Ha=aH, 則稱H是G的正規(guī)子群, 記作 H G. 定義6.6 設(shè)G是群, N是

21、G的正規(guī)子群, 令G/N是N在G中的全體左陪集(或右陪集)構(gòu)成的集合, 即G/N={Ng|g?G} 在G/N上定義二元運(yùn)算?如下: ?Na,Nb?G/N, Na?Nb=Nab G/N關(guān)于?構(gòu)成了群, 稱為G的商群.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,循環(huán)群定義6.7 在群G中, 如果存在a?G使得 G={ak|k?Z}則稱G為循環(huán)群, 記作G=,稱a為G的

22、生成元.☆ 循環(huán)群必定是阿貝爾群, 但阿貝爾群不一定是循環(huán)群.證明: 設(shè)是一個循環(huán)群, 它的生成元是a,那么,對于任意x,y?G, 必有r,s?Z, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x由此可見是一個阿貝爾群.例如,是一個循環(huán)群, 其生成元是1或-1.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,循環(huán)群 在循環(huán)群G=中, 生成元a的階與群G的階是一樣的. 如果a是有限階元, |a|

23、＝n, 則稱G為n階循環(huán)群. 如果a是無限階元, 則稱G為無限階循環(huán)群. 例如: 是無限階循環(huán)群; 是n階循環(huán)群. 注意:(1) 對無限階循環(huán)群G=, G的生成元是a和a-1; (2) 對n階循環(huán)群G==,G的生成元是at當(dāng)且僅當(dāng)t與n互素, 如12階循環(huán)群中, 與12互素的數(shù)有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、a11.(3) N階循環(huán)群G=, 對于n的每個正因子d, G恰好有一個d階子群H=.,6.1

24、.6 循環(huán)群和置換群,n元置換定義6.7 設(shè)S＝{1,2,?,n},S上的任何雙射函數(shù)?:S →S構(gòu)成了S上n個元素的置換,稱為n元置換.例如, S={1,2,3}, 令?:S→S, 且有: ?(1)=2, ?(2)=3, ?(3)=1則?將1,2,3分別置換成2,3,1, 此置換常被記為?= 采用這種記法, 一般的n元置換?可 記為,

25、n元置換n個不同元素有n!種排列的方法, 所以, S上有n!個置換.例如,上有3!=6種不同的置換,即,6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元置換對于n元置換也可以用不交的輪換之積來表示.?=(a1a2…am), m?n那么?的映射關(guān)系是a1??a2,a2??a3,…am-1??am,am??a1,而其他的元素都有a??a. 稱?為m次輪換.這樣, 任何n元置換都可表成不交的輪換之積.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元置

26、換例如, ?是{1,2,…6}上的置換,且?=那么?的映射關(guān)系是1?? 6, 2??5, 3??3, 4??4, 5??2, 6??1.去掉3和4這兩個保持不變的元素,可得 1?? 6, 6??1, 2??5, 5??2 所以 ?=(1 6) (2 5) (3) (4),6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元置換又如, ?也是{1,2,…6}上的置換,且 ? =則有 ?=(1 4 3 2 5) (6)

27、 為使表達(dá)式簡潔,可以去掉1次輪換，則有 ?=(1 6) (2 5) ? = (1 4 3 2 5),6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元置換用輪換法表示 {1,2,3 }上的置換可記為： ?1= (1), ?2= (12), ?3= (13), ?4= (23), ?5= (123), ?6=(132)輪換可以進(jìn)一步表示

28、成對換之積, 如?6=(13)(12)奇置換: 能表示成奇數(shù)個對換之積的置換;偶置換: 能表示成偶數(shù)個對換之積的置換.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元對稱群、n元置換群設(shè)S={1,2,…n}, S上的n!個置換構(gòu)成集合Sn, 其中恒等置換Is=(1)∈Sn. 在Sn上規(guī)定二元運(yùn)算?, 對于任意n元置換?, ?∈Sn, ?表示?與?的復(fù)合(乘法). 顯然???也是S上的n元置換, 所以, Sn對運(yùn)算?是封閉的, 且?是可結(jié)合的.

29、 任取Sn中的置換?, 有 ??Is= Is?? = ? 所以,恒等置換Is=(1)是Sn中的幺元.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元對稱群、n元置換群 ?與?的逆置換的復(fù)合為Is, 因此: ?-1= 就是?的逆元.即:Sn關(guān)于置換的復(fù)合構(gòu)成一個群, 稱之為S上的n元對稱群.Sn的任何子群稱為S上的n元置

30、換群.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,n元對稱群、n元置換群例如 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}, S3的運(yùn)算表如表6.1所示.(注意它與例6.6中G的聯(lián)系),6.1.6 循環(huán)群和置換群,從上表6.1可以看到: (13)?(12)≠(12)?(13)所以, S3不是阿貝爾群, 在 S3中, (12),(13)和(23)都是2階元, 而(123)和(132)是3階元.S3有6個子群, 即

31、 ={(1)}, ={(1),(12)}, ={(1),(13)}, ={(1),(23)}, =={(1),(123),(132)},其中{(1)}和S3是平凡的, 除S3自己以外, 都是S3的真子群.設(shè)An是Sn上所有偶置換組成的集合, An是Sn子群, 叫做n元交錯群.,6.1.6 循環(huán)群和置換群,6.2 環(huán)與域,6.2.1 環(huán)定義6.8 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng), R為集合,

32、 +和·為二元運(yùn)算, 如果(1) 為阿貝爾群,(2) 為半群,(3) 乘法·對加法+適合分配律, 則稱是環(huán).例如: , , , 都是環(huán),+和·表示普通加法和乘法, 分別叫整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實數(shù)環(huán)R和復(fù)數(shù)環(huán)C.是環(huán),,+,·分別是矩陣加法和乘法.注: 環(huán)中關(guān)于加法的逆元稱為負(fù)元, 記為-x; 關(guān)于乘法的逆元稱為逆元, 記為x-1,6.2 環(huán)與域,6.2.2 交換環(huán)和含幺環(huán) 在環(huán)中

33、, 如果乘法·適合交換律, 則稱R是交換環(huán). 如果對于乘法有幺元, 則稱R是含幺環(huán). 為了區(qū)別含幺環(huán)中加法幺元和乘法幺元, 通常把加法幺元記作0, 乘法幺元記作1. 可以證明加法幺元0恰好是乘法的零元.例如: , , , 都是交換環(huán)嗎? 它們是含幺環(huán)嗎?,6.2 環(huán)與域,6.2.3 左零因子、右零因子、無零因子環(huán)在環(huán)中, 如果存在a,b∈R, a≠0, b≠0, 但ab＝0, 則稱a為R中的左零因子, b為R中的右

34、零因子. 如果環(huán)R中既不含左零因子, 也不含右零因子, 即 ?a,b∈R, ab＝0?a＝0∨b＝0 則稱R為無零因子環(huán).,6.2 環(huán)與域,6.2.3 整環(huán)和域整環(huán): 若環(huán)是交換、含幺和無零因子的, 稱R為整環(huán).域: 設(shè)環(huán)整環(huán), 且R至少含有2個元素, 若? a?R (a≠0)有a-1?R, 則稱R是域.例如: 有理數(shù)集Q、實數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C關(guān)于普通的加法和乘法都構(gòu)成了域, 整數(shù)集Z只能構(gòu)成整數(shù)環(huán), 而不

35、是域, 因為并不是任意非零整數(shù)的倒數(shù)都屬于Z.,例6.6 設(shè)S為下列集合,+和.為普通加法和乘法.(1) S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}.(2) S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}.(3) S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, 問S和+,·能否構(gòu)成整環(huán)？能否構(gòu)成域？為什么？,6.2 環(huán)與域,解:(1)不是整環(huán)也不是域,因為乘法幺元是1,1?S.(2)不是整環(huán)也不是域,因為S不是環(huán),普通加法的幺元是0,0?S,(3

36、)S不是環(huán),因為除0以外任何正整數(shù)x的加法逆元是-x,而-x?S當(dāng)然也不是整環(huán)和域.,6.2.4 環(huán)的性質(zhì)定理6.6 設(shè)是環(huán), 則(1) ? a∈R, a·0＝0·a＝0.(2) ? a,b∈R,(-a)b＝a(-b)＝-(ab).(3) ? a,b∈R,(-a)(-b)＝ab.(4) ? a,b,c∈R, a(b-c)=ab-ac, (b-c)a＝ba-ca

37、.,6.2 環(huán)與域,6.3 格和布爾代數(shù),6.3.1 格定義6.10 設(shè)是偏序集, 如果? x,y∈S, {x,y}都有最小上界和最大下界, 則稱S關(guān)于≤構(gòu)成一個格. x∨y表示x和y的最小上界 x∧y表示x和y的最大下界.例6.7 設(shè)n為正整數(shù), Sn為n的正因子的集合, D為整除關(guān)系, 則構(gòu)成格. ?x,y∈Sn, x∨y是x,y的最小公倍數(shù)[x,y], x∧y是x,y的最大公約數(shù)(x,y),6.3 格和布爾代數(shù),格,

38、和 x∨y是x,y的最小公倍數(shù)[x,y], x∧y是x,y的最大公約數(shù)(x,y),155,例6.8 判斷圖中偏序集是否構(gòu)成格,說明為什么.,6.3 格和布爾代數(shù),6.3 格和布爾代數(shù),6.3.2 對偶原理對偶命題: 設(shè)f是含有格中的元素以及符號=,≤,≥, ∨,∧的命題,令f*是將f中的≤改寫成≥,將≥改寫成≤, ∨改寫成∧,∧改寫成∨所得到的命題, 稱為f的對偶命題. 根據(jù)格的對偶原理, 若f對一切格為真, 則f*也對一

39、切格為真. 例如, 若在格中有 (a∨b)∧c≤c 成立, 則有(a∧b)∨c≥c 成立.,定理6.7 設(shè)為格, 則運(yùn)算∨和∧適合交換律、結(jié)合律、冪等律和吸收律, 即(1)?a,b∈L, 有a∨b＝b∨a, a∧b＝b∧a(2)? a,b,c∈L, 有(a∨b)∨c＝a∨(b∨c), (a∧b)∧c＝a∧(b∧c).(3)?a∈L, 有a∨a＝a, a∧a＝a.(4) ? a,b∈L,有 a∨(a∧b)＝a,

40、a∧(a∨b)＝a.,6.3 格和布爾代數(shù),6.3 格和布爾代數(shù),格的另一個等價的定義 設(shè)是具有兩個二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng),且對于*和?運(yùn)算適合交換律、結(jié)合律、吸收律, 則可以適當(dāng)定義S中的偏序≤使得構(gòu)成一個格, 且? a,b∈S a∧b=a*b, a∨b=a?b.,6.3 格和布爾代數(shù),6.3.3 分配格定義6.11 設(shè)是格, 若?a,b,c∈L有 a∧(b∨c)＝(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)

41、＝(a∨b)∧(a∨c) 成立, 則稱L為分配格.,圖中(1)、(2)、(3)、(4)是分配格嗎？(3)a∧(b∨c)＝a∧e＝a (a∧b)∨(a∧c)＝d∨d＝d(4)b∧(a∨c)＝b∧e＝b (b∧a)∨(b∧c)＝d∨c=c.,6.3 格和布爾代數(shù),6.3.4 全上界和全下界定義6.12 若在格中存在一個元素a,?b∈L, a≤b或(b≤a), 則稱a為格L的全下界(或全上界) 對于一個

42、格L, 全下界如果存在,則是唯一的,記為0.同樣地,若全上界存在也是唯一的,記為1,具有全上界和全下界的格稱為有界格,記作,6.3.5 有補(bǔ)格定義6.13 設(shè)是有界格?a∈L, 若存在b∈L使得a∧b＝0, a∨b＝1, 則稱b為a的補(bǔ)元.例. (1)的a,b,c都不存在補(bǔ)元, 0與1互為補(bǔ)元;(2)的a,b,c中任意兩個都互為補(bǔ)元, 0與1互為補(bǔ)元;(3)中a和b的補(bǔ)元都是c, 而c的補(bǔ)元是a和b,0與1互為補(bǔ)元.,6.3 格

43、和布爾代數(shù),6.3 格和布爾代數(shù),6.3.5 有補(bǔ)格有補(bǔ)格: 在格中有的元素?zé)o補(bǔ)元,有的元素有補(bǔ)元,有的元素有多個補(bǔ)元,如果格中每個元素都至少有一個補(bǔ)元,則稱這個格為有補(bǔ)格.圖6,4中(2)和(3)是有補(bǔ)格,而(1)不是.對分配格L來說, 如果a∈L有補(bǔ)元, 則一定有唯一的補(bǔ)元a’.,6.3 格和布爾代數(shù),6.3.6 布爾代數(shù)定義6.14 如果格是有補(bǔ)分配格, 則稱L為布爾格,也叫做布爾代數(shù).由于布爾代數(shù)L中的每個元都有唯一的補(bǔ)

44、元,求補(bǔ)運(yùn)算也可以看成是L中的一元運(yùn)算. 因此, 布爾代數(shù)L可記為, 其中'表示求補(bǔ)運(yùn)算.,6.3 格和布爾代數(shù),布爾代數(shù)有以下性質(zhì):定埋6.8 設(shè)是布爾代數(shù), 則有:?a∈L, (a‘)’＝a, ?a,b∈L, (a∨b)‘=a’∧b‘,(a∧b)'=a'∨b' .證明: (a∨b)∨(a‘∧b’)＝(a∨b∨a')∧(a∨b∨b')＝((a∨a')∨b)∧(a∨(b

45、∨b'))＝(1∨b)∧(a∨1)＝⒈(a∨b)∧(a'∧b')＝(a∧a'∧b')∨(b∧a'∧b') ＝((a∧a')∧b')∨((b∧b')∧a')＝(0∧b')∨(0∧a')＝0.所以a'∧b'是a∨b的補(bǔ)元,即(a∨b)'＝a'∧b'.同理可證 (a