課題橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一）

1、<p>　　課題： 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一）</p><p>　　教材：全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）（人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 編著）</p><p>　　授課教師：河北正定中學(xué) 霍文明</p><p><b>　　課堂設(shè)計(jì)理念：</b></p><p>　　授人于魚不如授人于漁。通

2、過創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情景，挖掘?qū)W生內(nèi)在的研究問題的巨大潛能，使學(xué)生在做中學(xué)，學(xué)中思，親身體會(huì)創(chuàng)造過程，充分展示思維差異，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，邏輯推理能力，提高學(xué)生的思維層次，掌握獲取知識(shí)的方法和途徑，真正體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)過程中的主體地位。</p><p><b>　　教學(xué)目標(biāo)：</b></p><p>　?。?）知識(shí)與技能：掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)，掌

3、握幾何意義以及的相互關(guān)系，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。</p><p>　?。?）過程與方法：利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對(duì)研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更重視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。</p>

4、<p>　?。?）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；通過多媒體展示，讓學(xué)生體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。</p><p><b>　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：</b></p><p>　　重點(diǎn)：從知識(shí)上來講，要掌握

5、如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì)；從學(xué)生的體驗(yàn)來說，需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。</p><p>　　難點(diǎn)：橢圓幾何性質(zhì)的形成過程，即如何從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。通過本節(jié)課的教學(xué)力求使一個(gè)平淡的性質(zhì)陳述過程成為一個(gè)生動(dòng)而有價(jià)值的學(xué)生主動(dòng)交流合作、大膽探究的過程應(yīng)是教學(xué)的難點(diǎn)。</p><p>　　教學(xué)策略與

6、學(xué)法指導(dǎo)：</p><p>　　教學(xué)策略：本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問題情景——學(xué)生自主探究——師生共同辨析研討——?dú)w納總結(jié)組成的“四環(huán)節(jié)”探究式學(xué)習(xí)方式，并在教學(xué)過程中根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案。學(xué)法指導(dǎo)：通過創(chuàng)設(shè)問題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過程來激勵(lì)學(xué)生的探索勇氣。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和學(xué)生的情感發(fā)展來調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。</p><p&g

7、t;　　教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用：</p><p>　　使用實(shí)物投影及多媒體輔助教學(xué)。借助實(shí)物投影展示學(xué)生的解題思維及解題過程，突出學(xué)生的思維角度與思維認(rèn)識(shí)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提高學(xué)生的思維層次。</p><p><b>　　教學(xué)過程：</b></p><p>　　創(chuàng)設(shè)問題情景，學(xué)生自主探究：</p><p>　　方程表示什

8、么樣的曲線，你能利用以前學(xué)過的知識(shí)畫出它的圖形嗎？</p><p><b>　　學(xué)生活動(dòng)過程：</b></p><p>　　情形1：列表、描點(diǎn)、連線進(jìn)行做圖，在取點(diǎn)的過程中想到了橢圓的范圍問題；</p><p>　　情形2：求出橢圓曲線與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)想橢圓曲線的形狀得到圖形；</p><p>　　情形3：方程變形

9、，求出，聯(lián)想橢圓畫法，利用繩子做圖；</p><p>　　情形4：只做第一象限內(nèi)的圖形，聯(lián)想橢圓形狀，對(duì)稱得到其它象限內(nèi)的圖形；</p><p>　　辨析與研討：實(shí)物投影展示學(xué)生的畫圖過程，挖掘?qū)W生的原有認(rèn)知，體現(xiàn)同學(xué)的思維差異，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)意圖：</b></p><p>　?。?/p>

10、1）問題設(shè)置來源于課本例題，選題目的有利于學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，第一問的解決舊體現(xiàn)了對(duì)二元二次方程的研究，為利用方程研究性質(zhì)打下基礎(chǔ)；</p><p>　?。?）課堂教學(xué)體現(xiàn)學(xué)生自主探究知識(shí)的過程，問題的設(shè)置體現(xiàn)了研究問題角度的轉(zhuǎn)變——用方程研究曲線性質(zhì)的問題，同時(shí)使學(xué)生意識(shí)到橢圓的幾何特征：范圍、對(duì)稱性、關(guān)鍵點(diǎn)； （3）實(shí)物投影展示學(xué)生的研究過程和研究成果，重在發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維

11、差異和思維認(rèn)識(shí)層次；</p><p>　?。?）辨析過程中重視學(xué)生的思維起點(diǎn)，通過彼此交流，發(fā)現(xiàn)問題，共同探討，得到統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。</p><p><b>　　教師點(diǎn)評(píng)：</b></p><p>　　（1）能夠抓住橢圓的幾何特征；范圍、對(duì)稱性、關(guān)鍵點(diǎn)做圖；（2）研究問題的方向發(fā)生了變化，利用方程研究曲線的幾何性質(zhì)；</p><

12、;p>　?。?）本節(jié)課我們利用橢圓更一般的方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)特殊到一般的思想方法。</p><p>　　教師板書：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)</p><p>　　引導(dǎo)評(píng)價(jià)，引入課題： </p><p>　　設(shè)置問題，學(xué)生思考：與直線方程和圓的方程相對(duì)比，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特點(diǎn)？</p><p>　　（1）橢圓方程是關(guān)于的二元二次方程

13、；</p><p>　　（2）方程的左邊是平方和的形式；右邊是常數(shù)1；（3）方程中和的系數(shù)不相等；</p><p>　　設(shè)計(jì)意圖：類比直線方程和圓的方程能夠使學(xué)生容易得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，體現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)為利用方程研究橢圓曲線的幾何性質(zhì)做好了準(zhǔn)備.</p><p>　　【問題1】自主探究：結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢

14、圓曲線的范圍；</p><p>　　實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過程，激勵(lì)學(xué)生開拓思維：學(xué)生活動(dòng)過程：</p><p><b>　　情形1：變形為：</b></p><p>　　這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下的范圍：</p><p>　　同理，我們也可以得到的范圍：</p><p>　　情形2：可以把看成

15、，利用三角函數(shù)的有界性來考慮的范圍；教師點(diǎn)評(píng)：太聰明了，你可能沒有意識(shí)到，如果將a,b乘過去，就得到了，這是我們以后要學(xué)習(xí)的橢圓方程的另外一種表達(dá)方式，橢圓的參數(shù)方程，有興趣的同學(xué)下起可以閱讀有關(guān)內(nèi)容，所以說我們?cè)谘芯繂栴}的過程中，結(jié)果并不重要，重要的要打開研究問題的思路，拓寬我們的思維角度。</p><p><b>　　誰還有其他的方法：</b></p><p>

16、　　情形3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1，那么這兩個(gè)數(shù)都不大于1，所以，同理可以得到的范圍</p><p><b>　　設(shè)計(jì)意圖：</b></p><p>　　（1）傳統(tǒng)的研究橢圓的幾何性質(zhì)往往是利用圖形直觀得到性質(zhì)，然后利用方程進(jìn)行證明，沒有真正體現(xiàn)出利用方程研究曲線幾何性質(zhì)的路子，因此在這里通過多媒體課件始終展示橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，使學(xué)生在把握橢圓方程結(jié)構(gòu)

17、特征（1）和（2）的基礎(chǔ)上來研究橢圓曲線的幾何性質(zhì)；</p><p>　?。?）通過開頭問題的鋪墊，學(xué)生的思維在這里體現(xiàn)的異?；钴S，除了教材中得到范圍的方法外，另外兩種方法很多同學(xué)都能想到，使學(xué)生真正感受成功的喜悅；</p><p>　?。?）多媒體課件展示橢圓的范圍，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。</p><p>　　結(jié)論：由橢圓方程中的范圍得到橢圓位于直線和所圍成的矩形里。

18、</p><p>　　【問題2】自主探究：繼續(xù)觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的對(duì)稱性；實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過程，體現(xiàn)學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)：</p><p>　　代后方程不變，說明橢圓關(guān)于軸對(duì)稱；</p><p>　　代后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于軸對(duì)稱；</p><p>　　、代，后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；問題設(shè)置：

19、從對(duì)稱性的本質(zhì)上入手，如何探究曲線的對(duì)稱性？</p><p>　　辨析與研討：代后方程不變，就是用來代換方程中的，方程不變，和關(guān)于軸對(duì)稱，兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程，而是曲線上任意一點(diǎn)，因此橢圓曲線關(guān)于軸對(duì)稱；其它同理。</p><p>　　相關(guān)概念：在標(biāo)準(zhǔn)方程下，坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。</p><p><b>　　設(shè)計(jì)意圖

20、：</b></p><p>　　抓住橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)不放松，引導(dǎo)學(xué)生探究如何利用方程研究橢圓的對(duì)稱性；</p><p>　　在學(xué)生的表述過程中重視學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生正確處理問題的思路，能夠引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱性的本質(zhì)上得到研究對(duì)稱性的方法；</p><p>　　多媒體課件展示橢圓的對(duì)稱性，使學(xué)生體會(huì)橢圓的對(duì)稱美。</p><p&g

21、t;　　【問題3】自主探究：再次觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程求出橢圓曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)</p><p>　　實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過程，體現(xiàn)學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)：</p><p>　　在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，，得</p><p>　　頂點(diǎn)概念：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)</p><p><b>　　頂點(diǎn)坐標(biāo)；，</

22、b></p><p>　　相關(guān)概念：線段分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng),</p><p>　　在橢圓的定義中，表示焦距，這樣，橢圓方程中的就有了明顯的幾何意義。</p><p><b>　　設(shè)置問題：</b></p><p>　　在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中令能使方程簡(jiǎn)

23、單整齊，其幾何意義是什么？學(xué)生探究：</p><p>　　表示半焦距，表示短半軸長(zhǎng)，因此，聯(lián)結(jié)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，在直角三角形內(nèi)，，即；</p><p>　　多媒體展示特征三角形.</p><p><b>　　設(shè)計(jì)意圖：</b></p><p>　?。?）利用方程研究橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)學(xué)生比較容易接受，相關(guān)

24、概念也容易理解，關(guān)鍵是的幾何意義，多媒體課件的展示體現(xiàn)的幾何意義，從而得到的本質(zhì)。</p><p>　　三、課堂練習(xí)： 閱讀課本例1，你有什么認(rèn)識(shí)？</p><p>　?。?）利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，若橢圓的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，首先應(yīng)將方程畫為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后找出相應(yīng)的。</p><p>　　利用橢圓的幾何性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化畫圖過程，保證圖形的準(zhǔn)確性</p&

25、gt;<p>　?。?）掌握畫橢圓草圖的基本步驟和注意事項(xiàng)：（1）以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為鄰邊畫矩形；</p><p>　?。?）由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)；</p><p>　?。?）用曲線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓；</p><p>　?。?）畫圖時(shí)要注意它們的對(duì)稱性及頂點(diǎn)附近的平滑性.</p><p>　　設(shè)計(jì)意圖：（

26、1）學(xué)生閱讀交流提高認(rèn)識(shí)而不是教師講解，能夠使學(xué)生感悟知識(shí)的應(yīng)用；</p><p>　?。?）與開頭相呼應(yīng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)能夠簡(jiǎn)化做圖過程；</p><p><b>　　反思與評(píng)價(jià)：</b></p><p>　　回顧知識(shí)的形成過程，同學(xué)交流，談?wù)剬?duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí)：</p><p>　?。?）知識(shí)與技能：橢圓

27、的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)，初步學(xué)習(xí)了利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓曲線性質(zhì)的方法；</p><p>　?。?）過程與方法：重視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)了我們觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力；</p><p>　?。?）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：善于觀察，敢于創(chuàng)新，學(xué)會(huì)與人合作，感受到探究的樂趣，體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓

28、曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。</p><p>　　設(shè)計(jì)意圖：不會(huì)反思，就不會(huì)學(xué)習(xí)，通過反思，深化知識(shí)的形成過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握研究的方法和思路，拓寬思維角度，提高思維層次。</p><p>　　五、課后作業(yè)：（1）反思知識(shí)的形成過程，掌握研究問題的方法；</p><p>　?。?）研究的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)；</p><

29、p>　　（3）課后延伸：同學(xué)們?cè)賮碛^察橢圓的結(jié)構(gòu)特征“方程中和的系數(shù)不相等”，因此當(dāng)和的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，橢圓的形狀是如何隨之變化的？</p><p>　　設(shè)計(jì)意圖：課后作業(yè)的設(shè)置體現(xiàn)了本節(jié)課研究方法的延伸，作業(yè)（1）強(qiáng)調(diào)研究方法的重要性，作業(yè)（2）是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種檢驗(yàn)，作業(yè)（3）引導(dǎo)學(xué)生利用橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征自主研究橢圓的另一條性質(zhì)——離心率；</p><p><b>

30、;　　附錄：板書設(shè)計(jì)</b></p><p>　　8.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)</p><p><b>　　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：</b></p><p>　　1、范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形里。</p><p>　　2、對(duì)稱性：橢圓關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)都對(duì)稱</p><p>　　3、頂點(diǎn)

31、：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，課堂練習(xí)：</p><p><b>　　反思與評(píng)價(jià)：</b></p><p><b>　　課后作業(yè)：</b></p><p><b>　　課堂設(shè)計(jì)說明：</b></p><p>　　1、對(duì)教材的研究認(rèn)識(shí)：</p><p>　　利用已知條

32、件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務(wù)，利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說是第一次，傳統(tǒng)的教學(xué)過程往往是利用多媒體課件展示橢圓曲線，讓學(xué)生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì)，然后再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行證明，體現(xiàn)從感性到理性符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律等，也可以說是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路，但未能很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì)。因此，本人在教學(xué)一開始的問題設(shè)置就體現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識(shí)，在三個(gè)性質(zhì)的研究中一直是

33、用方程的結(jié)構(gòu)特征來得到性質(zhì)，真正培養(yǎng)學(xué)生如何利用方程研究曲線性質(zhì)的能力。同時(shí)，根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的課時(shí)安排，本節(jié)課不研究橢圓的離心率，保證了學(xué)生的研究時(shí)間；與直線方程和圓方程的類比能夠使得學(xué)生掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，學(xué)生在自主探究過程中能夠聯(lián)想得到三角換元，說明該種教學(xué)方法還是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，同時(shí)體現(xiàn)了教材的本質(zhì)。</p><p>　　2、 課堂教學(xué)模式的設(shè)置：</p><p>

34、　　自主探究是傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種補(bǔ)充，自主探究能夠使學(xué)生成為研究問題的主人，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)的核心，教學(xué)過程的設(shè)計(jì)要能夠體現(xiàn)教學(xué)本質(zhì)；能夠突出所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；組織教學(xué)的過程要能觸及學(xué)生的靈魂深處。因此，課堂教學(xué)中提倡問題教學(xué)，抓住學(xué)生的認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)，恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)習(xí)者能夠在課堂上進(jìn)行積極有效的學(xué)習(xí)。</p><p>　　3、 課堂練習(xí)題的說明：</p>