小學(xué)奧數(shù)專題—抽屜原理(一)

1、小學(xué)奧數(shù)專題小學(xué)奧數(shù)專題—抽屜原理抽屜原理(一)[專題介紹]把4只蘋(píng)果放到3個(gè)抽屜里去，共有4種放法（請(qǐng)小朋友們自己列舉），不論如何放，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋(píng)果。同樣，把5只蘋(píng)果放到4個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋(píng)果。……更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋(píng)果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。利用抽屜原理，可以說(shuō)明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過(guò)，抽屜原理不

2、是拿來(lái)就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋(píng)果”。[經(jīng)典例題]【例1】一個(gè)小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個(gè)月過(guò)生日。為什么？【分析與解答】每年里共有12個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某一個(gè)月。如果把這12個(gè)月看成12個(gè)“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋(píng)果”，把13只蘋(píng)果放進(jìn)12個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋(píng)果，也就是說(shuō)，至少有2名同學(xué)

3、在同一個(gè)月過(guò)生日?！纠?】任意4個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？【分析與解答】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個(gè)自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個(gè)“抽屜”。我們把4個(gè)數(shù)看作“蘋(píng)果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)數(shù)。換句話說(shuō)，4個(gè)自然數(shù)分成3類，至少有兩個(gè)

4、是同一類。既然是同一類，那么這兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個(gè)自然數(shù)，至少有2個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問(wèn)不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無(wú)左、右之分）？【分析與解答】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。按5種顏色制作5個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一

5、只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn)2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會(huì)配成3雙。思考：1.能用抽屜原理2，直接得到結(jié)果嗎？2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應(yīng)取出多少只？3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？【例4】一個(gè)布袋中有35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有也就是7個(gè)抽屜.任取8個(gè)自

6、然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m1]表示.每一個(gè)類含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)，例如[1]中含有1，m1，2m＋1，3m＋1，….在研究與整除有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常用剩余類作為抽屜.根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。在有些問(wèn)題中，“抽屜”和“

7、蘋(píng)果”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“蘋(píng)果”.如何制造“抽屜”和“蘋(píng)果”可能是很困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問(wèn)題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。例8從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。【分析與解答】我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有

8、兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。例9從1、2、3、4、…、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12?！痉治雠c解答】在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一