小學(xué)奧數(shù)競賽專題之最優(yōu)化問題

1、小學(xué)奧數(shù)競賽專題之最優(yōu)化問題小學(xué)奧數(shù)競賽專題之最優(yōu)化問題[專題介紹]最優(yōu)化概念反映了人類實(shí)踐活動(dòng)中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，因此，最優(yōu)化問題成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題，涉及統(tǒng)籌、線性規(guī)劃一排序不等式等內(nèi)容。最優(yōu)化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強(qiáng)，因此對(duì)于開拓解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎(chǔ)知識(shí)相當(dāng)廣泛，很難做到一一列舉。因此，主要是以

2、例題的方式讓大家體會(huì)解決這些問題的方法和經(jīng)驗(yàn)。[經(jīng)典例題]例1:貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運(yùn)走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？[分析]因?yàn)槊恳恢幌渥拥闹亓坎怀^1噸，所以每一輛汽車可運(yùn)走的箱子重量不會(huì)少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運(yùn)走。例如，設(shè)有13只箱子，，所以每輛汽車只能運(yùn)走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運(yùn)

3、不走。因此，為了保證能一次把箱子全部運(yùn)走，至少需要5輛汽車。例2:用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？[分析]一個(gè)10尺長的竹竿應(yīng)有三種截法：（1）3尺兩根和4尺一根，最?。唬?）3尺三根，余一尺；（3）4尺兩根，余2尺。為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，

4、只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。例3:一個(gè)銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數(shù)，而且是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，它們個(gè)位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，這個(gè)三角形的周長最長應(yīng)是多少厘米？[分析]因?yàn)槿切稳吺侨齻€(gè)連續(xù)偶數(shù)，所以它們的個(gè)位數(shù)字只能是0，2，4，6，8，并且它們的和也是偶數(shù)，又因?yàn)樗鼈兊膫€(gè)位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，所以只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，那么周長最長為868890=264厘米。例4:把25拆成若干個(gè)正整數(shù)

5、的和，使它們的積最大。[分析]先從較小數(shù)形開始實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：例7今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規(guī)定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質(zhì)數(shù)）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？[分析]因?yàn)?400=7200，所以原題可以轉(zhuǎn)化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。[解]乙有必勝的策略。由于200=450，P或者是2或者可以表示為4k

6、1或4k3的形式（k為零或正整數(shù)）。乙采取的策略為：若甲取2，4k1，4k3顆，則乙取2，3，1顆，使得余下的棋子仍是4的倍數(shù)。如此最后出現(xiàn)剩下數(shù)為不超過20的4的倍數(shù)，此時(shí)甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。[說明]（1）此題中，乙是“后發(fā)制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關(guān)鍵是看他們所面臨的“情形”；（2）我們可以這樣來分析這個(gè)問題的解法，將所有的情形剩余棋子的顆數(shù)分成兩類，第一類是4的倍數(shù)，第二類是其它。若某人在取棋時(shí)遇到的是

7、第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時(shí)面臨第一類情形，則取棋后留給另一個(gè)人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。例8有一個(gè)80人的旅游團(tuán)，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個(gè)房間？[分析]為了使得所住房間數(shù)最少，安排時(shí)應(yīng)盡量先安排11人房間，這樣50人男的應(yīng)安排3個(gè)11人間

8、，2個(gè)5人間和1個(gè)7人間；30個(gè)女人應(yīng)安排1個(gè)11人間，2個(gè)7人間和1個(gè)5人間，共有10個(gè)房間。[練習(xí)]1、十個(gè)自然數(shù)之和等于1001，則這十個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)可能取的最大值是多少？（不包括0）2、在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？3、5個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個(gè)水龍頭適當(dāng)安排他