幾類自催化反應(yīng)擴散系統(tǒng)的分歧與空間斑圖.pdf

1、三次自催化反應(yīng)和高次自催化反應(yīng)是兩類重要的生物化學(xué)數(shù)學(xué)模型.自催化反應(yīng)模型是斑圖動力學(xué)研究的核心內(nèi)容，它在DNA復(fù)制過程、化學(xué)振蕩、化學(xué)波和斑圖的研究中有著非常重要的作用. 本文基于上述化學(xué)模型的研究現(xiàn)狀，主要運用線性分析和非線性偏微分方程的工具(特別是反應(yīng)擴散方程的理論和方法)深入系統(tǒng)地研究了這兩類系統(tǒng)中不同類型模型的動力學(xué)行為，包括平衡態(tài)解的穩(wěn)定性、分歧解、斑圖.所涉及的數(shù)學(xué)理論包括：線性理論、弱非線性分析、弗來得霍姆定理等

2、.主要工作如下。 ·研究了一類發(fā)生在有界容器內(nèi)的不可激活的高次自催化反應(yīng)擴散系統(tǒng).在適當(dāng)?shù)臈l件下，用漸近近似的方法討論了系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定范圍；用多重尺度的方法證明了當(dāng)擴散系數(shù)λ充分小時，系統(tǒng)出現(xiàn)兩種類型的斑圖，一類是由Hopf分歧引出的駐波斑圖，另一類是由Pitchfork分歧引出的定波斑圖.進一步還證明了在分歧點附近，對于大于空間或等于空間波數(shù)的小擾動，斑圖是局部穩(wěn)定的，而小于自身空間波數(shù)的小擾動，斑圖是不穩(wěn)定的. ·

3、研究了一類發(fā)生在有界容器內(nèi)且擴散系數(shù)不同的高次自催化反應(yīng)擴散系統(tǒng).在適當(dāng)?shù)臈l件下，用漸近近似的方法討論了系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定范圍，并且證明由穩(wěn)定態(tài)產(chǎn)生的分歧為穩(wěn)定空間非一致解的必要條件是參數(shù)D(=λb/λa)< (其中λb,λa分別是化學(xué)物質(zhì)A和B的擴散系數(shù)).進一步用弱非線性理論分析了接近分歧點的空間非一致斑圖解的性質(zhì). ·研究了一類由于自催化劑的耦合而產(chǎn)生的反應(yīng)擴散系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu).利用線性化理論討論了平衡態(tài)解的穩(wěn)定性，證明了在非

4、耦合系統(tǒng)中空間非一致解出現(xiàn)分歧的必要條件是，此時0<β

5、分歧解將不會出現(xiàn)在非耦合系統(tǒng)中.最后，在耦合系統(tǒng)中對于0>1的情形，給出了分歧分支振幅方程的平衡點的穩(wěn)定性. ·研究了基于三次自催化反應(yīng)A+2B→3B，B→C的二維圖靈斑圖.由線性化理論給出了平衡態(tài)(a，b)=(1/a，u)的穩(wěn)定性(其中a和b分別是反應(yīng)物A和自催化劑B的濃度，u是初始先引物P的濃度)，進一步，利用弱非線性理論給出了出現(xiàn)菱形排列和六邊形排列的二維空間斑圖的條件.最后，給出了Landan常數(shù)和振幅方