幾類隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的漸近行為.pdf

1、確定性的反應(yīng)擴(kuò)散方程在斑圖理論,種群動態(tài)演化等研究中取得了很大成功.例如,對細(xì)胞和神經(jīng)等復(fù)雜系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)的研究,導(dǎo)致了數(shù)學(xué)生物學(xué)的誕生.但自然界中的各種系統(tǒng)都有可能受隨機(jī)外力,隨機(jī)介質(zhì),隨機(jī)邊界條件和隨機(jī)環(huán)境等因素的干擾和影響.近一二十年來,隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程越來越受到研究人員的關(guān)注.本文主要研究幾類隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的漸近行為(最后一章也研究了確定性方程的漸近性質(zhì)),內(nèi)容包括:無界域上帶加性噪聲隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的(L2，H1)-隨機(jī)吸引子;

2、有界域上帶乘性噪聲隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的(L2，H10)-隨機(jī)吸引子;隨機(jī)不變集的分形維數(shù);R3中有界域上一類確定性反應(yīng)擴(kuò)散方程在空間L2p-2(D)和H2(D)中的指數(shù)吸引子;一類帶參數(shù)的非經(jīng)典擴(kuò)散方程指數(shù)吸引子的魯棒性等.
　　全文分為三個(gè)部分：
　　第一部分主要介紹了無窮維動力系統(tǒng)和隨機(jī)動力系統(tǒng)的發(fā)展進(jìn)程.回顧了隨機(jī)吸引子相關(guān)概念及已有方法和結(jié)論,同時(shí)也簡要介紹了本文的研究內(nèi)容.然后給出了本文中要用到的一些基本概念和結(jié)論.

3、
　　第二部分,是本文的核心內(nèi)容.首先,研究了定義在全空間Rn上帶加性白噪聲的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的(L2，H1)-隨機(jī)吸引子的存在性,其中非線性反應(yīng)項(xiàng)滿足任意的p-1(p≥2)次多項(xiàng)式增長條件.用截?cái)喾椒ê臀补烙?jì)方法克服無界域上Sobolev嵌入的非緊性的困難,證明了(L2，H1)-漸近緊性.在利用截?cái)喾ㄗC明解在球內(nèi)部的漸近緊性時(shí),我們建立了一種新的估計(jì),這種估計(jì)足夠精細(xì)使得我們不需要對方程兩邊求導(dǎo)就可以得到解的漸近緊性.
　

4、　其次,證明了有界域D包含于Rn上帶乘性白噪聲的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的(L2，H10)-隨機(jī)吸引子的存在性.與有界域上加性噪聲的情況相比,乘性噪聲的情形更為復(fù)雜,需要對隨機(jī)系數(shù)和Gronwall型不等式作更精細(xì)的估計(jì).
　　然后,給出了一個(gè)新的關(guān)于隨機(jī)不變集分形維數(shù)的上界估計(jì).這是確定性結(jié)論在隨機(jī)情況下的推廣.與確定性情形不同的是,隨機(jī)不變集及其覆蓋是隨時(shí)間變化而變化的,所以這種推廣并非是平凡的,我們利用Poincar′e回歸定理來克

5、服這一困難.所得抽象結(jié)論的優(yōu)勢在于它不需要系統(tǒng)的可微性,而且對Banach空間中的問題也成立,從而它有更廣泛的應(yīng)用.作為應(yīng)用我們給出了一類隨機(jī)半線性退化拋物方程的隨機(jī)吸引子的分形維數(shù)估計(jì).
　　最后,研究了確定性反應(yīng)擴(kuò)散方程的指數(shù)吸引子.主要結(jié)果包括:(1)我們研究了一類R3中有界域上帶非齊次項(xiàng)g的反應(yīng)擴(kuò)散方程,其中的非線性項(xiàng)f滿足任意的多項(xiàng)式增長條件.首先我們證明了其解半群在H2(D)范數(shù)拓?fù)湎麓嬖谥笖?shù)吸引子.其次,給出了一個(gè)新