幾類反應(yīng)擴(kuò)散問題的定性分析.pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散方程或方程組常用于物理、化學(xué)、生態(tài)等學(xué)科中一些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模，其各類解的存在性及其動(dòng)力學(xué)性態(tài)一直是微分方程理論研究和應(yīng)用問題研究的重要課題．本博士學(xué)位論文主要研究了四類非線性反應(yīng)擴(kuò)散模型：受水流作用的水生生物模型、遷移和自然選擇共同作用的基因演化模型、種群入侵演化模型及帶雙自由邊界的燃燒模型，其中前兩個(gè)模型是固定區(qū)域上的反應(yīng)擴(kuò)散問題，后兩個(gè)模型是移動(dòng)區(qū)域上的反應(yīng)擴(kuò)散問題．借助定性分析、最大值原理、比較原理、譜理論、分支理論和

2、上下解方法等理論工具，探討這些反應(yīng)擴(kuò)散問題中的一些參數(shù)如：擴(kuò)散系數(shù)、對(duì)流系數(shù)、區(qū)域度量、初值大小、邊界移動(dòng)參數(shù)等對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，得到了參數(shù)域的剖分以及不同參數(shù)域內(nèi)相應(yīng)系統(tǒng)的不同動(dòng)力學(xué)性態(tài)，揭示了參數(shù)值相應(yīng)的不同環(huán)境對(duì)實(shí)際問題產(chǎn)生的本質(zhì)作用．理論上推廣或完善了前人的工作，發(fā)展了處理這類問題的方法和技巧．應(yīng)用上解釋了一些觀察到的實(shí)際現(xiàn)象，為理解這些實(shí)際問題的演化機(jī)制提供了理論依據(jù)．具體研究?jī)?nèi)容分為如下四個(gè)部分：
　　生活在溪流

3、或河流中的水生生物，在水流作用下不斷被沖到下游或沖出原有的生態(tài)環(huán)境，從而導(dǎo)致物種數(shù)量下降甚至滅絕，但也有一些物種能在這種環(huán)境里一代一代生存下來，這類生物現(xiàn)象常被稱為“漂移悖論”(drift paradox)，早在1954年就被Muller[123]觀察到．人們一直致力于探索這類物種能夠持續(xù)生存的機(jī)制，并試圖通過數(shù)學(xué)建模幫助理解這一生物現(xiàn)象．2001年，Speirs Gurney[145]用如下反應(yīng)擴(kuò)散對(duì)流方程描述某一物種在水流作用下的動(dòng)

4、力學(xué)行為(此處公式省略)其中d為擴(kuò)散系數(shù)，a為水流速度．通過理論研究對(duì)“漂移悖論”給出一種解釋：足夠強(qiáng)的隨機(jī)擴(kuò)散能夠平衡掉水流引起的偏向性運(yùn)動(dòng)，從而幫助物種持續(xù)生存．2011年，Vasilyeva，Lutscher[149]研究了相同的方程，但假設(shè)下游滿足Neumann邊界條件，即Ur(L，l)=o，并得到類似結(jié)論．近來，Lutscher，Lewis，Mccauley[111]推導(dǎo)出下游滿足更一般的邊界條件，dur(L，l)一au(L，

5、l)=-bau(L，l)，其中參數(shù)b表示相對(duì)于水流作用的一種損失率，并且b取不同值可以反映出不同的河流環(huán)境特征，如b=0說明下游沒有損失，對(duì)應(yīng)上游的“無流”邊界條件；b=1說明下游處水流引起百分百損失，對(duì)應(yīng)Neumman邊界條件；b→∞說明下游損失很嚴(yán)重，不利于物種生存，對(duì)應(yīng)Dirichlet邊界條件．本論文第二章的第一部分研究了滿足這種一般邊界條件的上述單個(gè)方程．通過建立臨界區(qū)域長(zhǎng)度和臨界水流速度，我們給出了單個(gè)物種持續(xù)生存的充分必要

6、條件，并發(fā)現(xiàn)b=1/2是該問題動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生轉(zhuǎn)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．進(jìn)一步，為了探索對(duì)流環(huán)境中的擴(kuò)散機(jī)制，本章第二部分研究了相應(yīng)的一類兩個(gè)物種競(jìng)爭(zhēng)模型，并假設(shè)兩個(gè)物種僅擴(kuò)散速度不同．借助譜理論和一些分析技巧，我們得到了0≤b<1時(shí)系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)，結(jié)論表明擴(kuò)散慢的物種一定被取代，增加擴(kuò)散速度更適合自然選擇，推廣了Lou，Lutscher[105]中b=1的結(jié)果；然而b>1時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得很不同，特別地，我們說明了b>3/2時(shí)，適中的擴(kuò)

7、散速度有可能被選擇．這里我們指出由于邊界條件中參數(shù)b的引進(jìn)，半平凡解的穩(wěn)定性不能通過文獻(xiàn)[105]中的方法得到，然而本章給出的方法可同樣處理情形6=1．另外，為了得到0≤6<1時(shí)系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)性態(tài)，共存解的不存在性是一個(gè)難點(diǎn)，我們發(fā)展了新的方法和數(shù)學(xué)技巧來克服這一難點(diǎn)．這一研究成果已發(fā)表，見附錄二論文1．
　　基因遺傳演化規(guī)律是群體遺傳學(xué)理論研究的核心．自1937年Fisher[56]首次提出用偏微分方程描述在遷移和自然選擇共同

8、作用下基因頻率變化規(guī)律以來，大量非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程被用來描述基因的演化過程，其中常用的一類描述兩種等位基因頻率變化的PDE模型如下([125])（此處公式省略）分別表示遷移和自然選擇作用，h用來衡量占優(yōu)程度：|h|<1，沒有占優(yōu)，共顯；|h|=1，完全占優(yōu)，完全顯性；|h|>1，絕對(duì)占優(yōu)，超顯性．早期，F(xiàn)leming[57](1975)和Senn[138](1983)分別用泛函和分支理論研究了|h|<1時(shí)該模型非平凡穩(wěn)態(tài)解的存在性和穩(wěn)定

9、性．最近，倪維明教授等人發(fā)表了系列工作『127，llo]，系統(tǒng)地研究了退化情形h=-1，得到了非平凡穩(wěn)態(tài)解的存在性，穩(wěn)定性，以及極限形態(tài)與平凡解u=0和u=1的關(guān)系，而且他們的研究方法可統(tǒng)一處理|h|≤1的情形．本論文第三章在他們的工作基礎(chǔ)上研究了|h|>1的情形．與|h|≤1不同的是此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)三個(gè)有生物意義的平凡解：u=0，u=(1/h)/2h和u=1．類似于前人工作，我們得到非平凡穩(wěn)態(tài)解的存在性，穩(wěn)定性，以及極限形態(tài)與這三個(gè)平凡解

10、之間的關(guān)系，但也觀察到一些不同現(xiàn)象，如：通過構(gòu)造一個(gè)具體實(shí)例，我們說明當(dāng)遷移很慢，即d很小時(shí)，該問題有一組非平凡解圍繞u=1+h/2h不斷振蕩，從而沒有極限形態(tài)．進(jìn)一步我們借助譜分析，分支理論和上下解方法，較全面地分析了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，結(jié)果表明fOg(x)dx的符號(hào)和遷移速度d的大小對(duì)基因頻率的分布至關(guān)重要，并且當(dāng)h→-1時(shí)，我們的結(jié)果與[127，110]相關(guān)結(jié)論一致．這一研究成果已發(fā)表，見附錄二論文3．
　　生物種群入侵問題

11、是生態(tài)學(xué)研究中的一個(gè)重要問題．2010年，杜一宏教授等人[44，40]用自由邊界問題來描述入侵種群向外擴(kuò)張變化的過程，提出并系統(tǒng)研究了如下模型(此處公式省略)其中自由邊界x=h(l)表示擴(kuò)張前沿．文獻(xiàn)[44]假設(shè)空間環(huán)境齊次，即m(x)三mo>o，證明了入侵種群滿足二分法：要么成功“擴(kuò)張”(h(t)→∞)且u-m0)，要么最終“滅絕”(此處公式省略)，并通過參數(shù)h0和μ基于這種考慮，本論文第四章考慮了一類空間環(huán)境強(qiáng)異質(zhì)情形，即m(x)可

12、以改變符號(hào)，此時(shí)研究主特征值關(guān)于參數(shù)h0的變化規(guī)律變得十分困難，文獻(xiàn)[40，44]中通過參數(shù)h0研究種群“擴(kuò)張’’或“滅絕”的方法不再適用．我們將擴(kuò)散系數(shù)D視為變化參數(shù)，并分析清楚了主特征值關(guān)于參數(shù)D的變化規(guī)律，從而結(jié)合上下解方法給出入侵種群“擴(kuò)張”或“滅絕”的充分條件．這一思路同樣適用于弱異質(zhì)情形，我們得到了入侵種群“擴(kuò)張”或“滅絕”的充要條件，這與[40]中結(jié)論平行．另外，在更一般的假設(shè)條件下，我們得到了自由邊界的漸近速度，推廣了前

13、人的工作．這些理論結(jié)果表明慢擴(kuò)散總是有利于種群入侵成功，而擴(kuò)散較快時(shí)，種群能否入侵成功與其初始密度u0。和邊界移動(dòng)參數(shù)μ局部化反應(yīng)項(xiàng)和雙自由邊界的燃燒模型(此處公式省略)(事實(shí)上，燃燒理論中非局部化反應(yīng)項(xiàng)有多種類型，關(guān)于空間變量積分只是其中一種，詳細(xì)可參考綜述性文章[143]．)非局部化反應(yīng)項(xiàng)帶來一定的研究困難，一方面它使原先的能量方法失效，需要尋找其他方法給出爆破條件；另一方面，由于它含有自由邊界g(l)和h(l)，這使得解的一些先驗(yàn)