線彈性問題的Looking-free有限元.pdf

1、本論文的主要內(nèi)容是利用能量極小化原理和非協(xié)調(diào)有限元,解決各向同性近于不可壓介質(zhì)的線彈性問題中的Locking現(xiàn)象。對于幾乎不可壓材料,當材料的Lamé常數(shù)λ→∞時,通常的低階協(xié)調(diào)有限元的解不再收斂到原問題的解或達不到最優(yōu)收斂階,這就是彈性材料的Locking現(xiàn)象。目前已有許多有效的方法用于解決Locking問題。這些方法按照變分原理大致可以歸結(jié)為兩類,一類是基于Hellinger-Reissner變分原理的混合有限元方法,另一類是基于能

2、量極小化原理的標準的有限元方法。對于混合有限元方法,只要選擇匹配的位移和壓力有限元空間,就可以得到穩(wěn)定離散方法。混合元法的一個重要缺陷是要求解更多的未知函數(shù),而標準的有限元方法不增加微分方程中未知函數(shù)的個數(shù),并且導出的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是正定的,這給求解帶來了很大的方便。
　　本文將采用基于能量極小化原理的有限元方法,構(gòu)造二維和三維2階收斂的Locking-free非協(xié)調(diào)元。對于平面彈性問題,本文構(gòu)造了一個14-freedom非

3、協(xié)調(diào)三角形元和一個18-freedom非協(xié)調(diào)矩形元。分析了這兩個有限元誘導的插值算子和散度算子具有一定意義下的可交換性,且有限元空間中的元素在單元邊界上具有一定的積分連續(xù)性。利用這些性質(zhì)證明了這兩個非協(xié)調(diào)元對純位移邊界條件下的平面彈性問題都是Locking-free的,且關(guān)于λ有一致地最優(yōu)收斂階,其能量模和L~2-模的誤差估計分別達到了2階和3階。給出的數(shù)值算例也驗證了理論分析的結(jié)果。用非協(xié)調(diào)有限元求解應力邊界條件的彈性方程的主要困難在

4、于單元要滿足離散的第二Korn不等式。利用Falk在[22]中的思想,本文證明了由14-freedom三角形元誘導的有限元空間中,第二Korn不等式的離散形式是成立的,從而證明了該單元對應力邊界條件下的平面彈性問題也是Locking-free的,并且能量模和L~2-模的誤差估計也分別達到了2階和3階。將平面彈性問題中構(gòu)造單元的方法推廣到三維的情形。針對三維純位移邊界條件下的線彈性問題,構(gòu)造了一個39-freedom四面體元和一個63-f