彈性梁幾何非線性問題的位置有限元法及其應(yīng)用研究.pdf

1、具有非線性特性的結(jié)構(gòu)和構(gòu)件在工程應(yīng)用中廣泛存在，很多場合下不能簡化為線性問題處理，必須應(yīng)用非線性理論才能得到合理的解答。由于大多數(shù)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型難以得到精確的解析解，因此，能適應(yīng)各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)形狀和邊界條件的有限元數(shù)值分析方法就成為解決這類問題行之有效的工程手段。
　　 位置有限元是一種新型的數(shù)值方法，與傳統(tǒng)的基于結(jié)點(diǎn)位移的非線性有限元方法不同，位置有限元以結(jié)點(diǎn)的位置作為主要變量，具有公式簡單、易于實(shí)施

2、、計(jì)算效率與精度高的優(yōu)點(diǎn)，特別適合解決大位移小應(yīng)變及超彈性材料的大位移大應(yīng)變等幾何非線性問題。位置有限元的研究起步較晚，理論與方法尚不系統(tǒng)完善，僅有的幾種單元類型遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法滿足實(shí)際工程問題的需要。本文對(duì)位置有限元的基本理論與方法進(jìn)行系統(tǒng)地研究，以工程中常用的梁單元為研究對(duì)象，構(gòu)造了新型的三結(jié)點(diǎn)等截面梁單元和變截面梁單元，用于結(jié)構(gòu)的靜態(tài)及動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析；并應(yīng)用構(gòu)造的梁單元對(duì)履帶起重機(jī)臂架結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析。本文主要研究內(nèi)容和成果包括：

3、>　　 基于幾何非線性位置有限元理論，構(gòu)造了一種新型的三結(jié)點(diǎn)等截面梁單元，用于結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析。該單元基于Euler-Bernoulli假設(shè)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)具有三個(gè)自由度，包括結(jié)點(diǎn)在總體坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)所在截面的轉(zhuǎn)角?；谧钚菽茉恚茖?dǎo)了靜態(tài)位置有限元平衡方程。借助于無量綱參數(shù)ξ，推導(dǎo)了任意構(gòu)形時(shí)梁橫截面上任意點(diǎn)的曲率，計(jì)算了任意點(diǎn)的縱向線應(yīng)變，得出了梁單元的應(yīng)變比能和應(yīng)變能。用綜合法進(jìn)行求解并編制了位置有限元計(jì)算程序。通過純彎曲

4、的歐拉梁、方鉆石型結(jié)構(gòu)等算例，對(duì)該單元的數(shù)值精度和計(jì)算性能進(jìn)行了考查。計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的兩結(jié)點(diǎn)梁單元相比，使用較少的單元數(shù)就可以獲得良好的計(jì)算精度，計(jì)算效率有顯著提高。
　　 對(duì)等截面梁動(dòng)態(tài)問題位置有限元三結(jié)點(diǎn)單元法進(jìn)行了研究。推導(dǎo)了梁單元的集中質(zhì)量矩陣，建立了動(dòng)態(tài)問題位置有限元方程，應(yīng)用Newmark方法進(jìn)行求解，速度、加速度由結(jié)點(diǎn)位置而不是位移直接得到，對(duì)曲柄滑塊結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算，數(shù)值結(jié)果同經(jīng)典有限元程序的數(shù)值解進(jìn)行了比較，表明

5、應(yīng)用位置有限元法時(shí)計(jì)算精度有顯著的提高。
　　 對(duì)變截面梁靜態(tài)、動(dòng)態(tài)問題位置有限元法進(jìn)行了研究。根據(jù)常見工程及機(jī)械結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)、外形和尺寸的主要特點(diǎn)，假定了梁單元的變截面模式，計(jì)算了橫截面上任意研究點(diǎn)的縱向工程應(yīng)變，得出了變截面梁單元的應(yīng)變比能和應(yīng)變能。應(yīng)用最小勢能原理，推導(dǎo)出幾何非線性位置有限元的靜態(tài)問題的平衡方程，采用Newton-Raphson迭代法進(jìn)行求解。推導(dǎo)了變截面梁單元的集中質(zhì)量矩陣和一致質(zhì)量矩陣，編制了動(dòng)態(tài)問題

6、位置有限元計(jì)算程序。對(duì)不同截面形式的變截面梁進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，計(jì)算結(jié)果表明：改變系數(shù)可以使假定的變截面模式適用于不同形狀的橫截面；該單元與傳統(tǒng)的分段等截面單元相比，需要較少單元個(gè)數(shù)就可以達(dá)到要求的精度，從而減少計(jì)算工作量，可在工程實(shí)踐中推廣應(yīng)用。對(duì)經(jīng)典算例一端固支座的變截面柔性梁進(jìn)行了計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)細(xì)長桿件幾乎沒有影響；應(yīng)用不同的質(zhì)量矩陣所得數(shù)值結(jié)果相差很小，由此可見，在結(jié)構(gòu)計(jì)算中完全可以采用簡化的集中質(zhì)量矩陣。