波蘭空間中Markov-Feller算子不變測度的存在性與唯一性.pdf

1、Markov-Feller算子是在Feller過程(一類Markov過程)的研究中出現(xiàn)的一類算子,起源于離散時間的時齊Markov鏈的遍歷性質的研究.Markov-Feller算子的遍歷理論已經(jīng)被廣泛地應用到很多領域,如動力系統(tǒng)、概率迭代函數(shù)系統(tǒng)、隨機微分方程解的穩(wěn)定性以及測度卷積的研究等等.
　　 不變測度的存在性、唯一遍歷性和漸近穩(wěn)定性是遍歷論研究中的重要課題,是Markov-Feller算子研究的主要內容.唯一遍歷性強于不

2、變測度的存在性,而漸近穩(wěn)定性強于唯一遍歷性.漸近穩(wěn)定性是Markov-Feller算子一個很強的性質.存在一大類Markov-Feller算子具有唯一的不變測度,但不是漸近穩(wěn)定的.所以刻畫Markov-Feller算子的唯一遍歷性也是一個很重要的問題.
　　 本文研究了波蘭空間中Markov-Feller算子不變測度的存在性和唯一性問題.主要方法是利用測度序列的胎緊性和等度連續(xù)性來保證不變測度的存在性和唯一性.本文的主要內容如下

3、.
　　 首先在緒論中我們對本課題的研究背景和意義,文獻綜述及論文的主要內容進行了比較詳細的說明.接著第二章研究波蘭空間中Markov-Feller算子不變測度的存在性,假設Markov-Feller算子是由轉移概率函數(shù)導出的.不變測度的存在性一直是Markov算子的遍歷理論研究中最重要的問題.Krylov和Bogol ioLibov證明了緊空間中的連續(xù)變換一定存在不變測度.Lasta和Yorke用轉移概率測度的漸近性給出了局部

4、緊空間中Markov-Feller算子不變測度的存在性和漸近穩(wěn)定性的充分條件.S.Meyn和R.Tweedi e用Foster-Lyapunov條件證明了局部緊空間中Markov算子的存在性,比較容易驗證.在波蘭空間中,不變概率測度的存在性條件主要是通過達代測度序列的胎緊性來尋找的.T.Szarek研究了波蘭空間中Markov算子不變測度的存在性和漸近穩(wěn)定性問題,給出了各種保證不變測度存在的條件.本文第二章給出了波蘭空間中Markov-

5、Feller算子存在不變測度的一個充分條件,即如果Markov-Feller算子的對偶算子在一點等度連續(xù),則存在不變測度.并且將此條件減弱,得到另一個充分條件.本章中給出的條件比其他刻畫不變測度存在性的條件更容易驗證.
　　 唯一遍歷性是指Markov算子有且只有一個不變測度,強于不變測度的存在性.刻畫唯一遍歷性對于Markov算子遍歷論的研究具有很重要的意義.RaduZaharopol證明了局部緊可分度量空間中Markov-F

6、eller算子唯一遍歷的充要條件是存在控制生成點.并且在假設存在不變測度的前提下利用等度連續(xù)性給出了Markov-Feller算子唯一遍歷的一個充分性條件.2008年T.Szarek給出了波蘭空間中Markov-Feller算子至多有一個不變測度的一個充分條件,即對偶算子等度連續(xù)并且交疊支集.本文第三章繼續(xù)這方面的工作,討論了唯一遍歷與交疊支集之間的關系,在Markov-Feller算子存在等度連續(xù)對偶算子的前提下,給出了其唯一遍歷的一

7、個充要條件,即Markov-Feller算子若存在等度連續(xù)對偶算子,則其唯一遍歷的充要條件是交疊支集.
　　 第四章研究波蘭空間中的遍歷定理.P.Walters給出了緊空間中的遍歷定理,即緊空間中連續(xù)變換唯一遍歷的三個等價條件.本章本試圖將其推廣到波蘭空間中,但是研究證明,對于波蘭空間中的Markov-Feller算子,這三個條件并不等價于唯一遍歷性,因此我們只給出了Markov-Feller算子唯一遍歷的一個充分條件,并通過舉