小參數(shù)微分系統(tǒng)的周期解及其反射函數(shù).pdf

1、眾所周知，研究微分系統(tǒng)x1=x(t,X)的解的性態(tài)，不但在微分方程理論領(lǐng)域中具有很重要的價值，同時對研究客觀世界中物體的運(yùn)動規(guī)律也具有相當(dāng)大的實際應(yīng)用價值．我們知道當(dāng)微分系統(tǒng)為自治系統(tǒng)，即x1=x(t,X)時，特別對于多項式自治系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果．而對于非自治系統(tǒng)x1=x(t,X)的研究成果就相對少很多．即使對于周期系統(tǒng)x1=x(t,X)(其中X(t+2ω,x)=x(t,x))的解的性態(tài)的研究結(jié)果也不是太多．已知的經(jīng)典方法有

2、Lyapunov變換和Poincare映射，他們對研究周期系統(tǒng)具有很大的幫助，但由于方法的局限性，實際操作就比較困難．而前蘇聯(lián)微分方程專家Mironenko創(chuàng)建的反射函數(shù)方法給我們提供了一種新的途徑來研究周期系統(tǒng)解的幾何性態(tài)． 本文是在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合反射函數(shù)和小參數(shù)擾動方法，對微分系統(tǒng)解的性態(tài)作了進(jìn)一步研究．在引言中，介紹了文章的研究背景、研究意義以及創(chuàng)新之處．在預(yù)備知識里，為后文敘述方便我們詳盡地給出了反射函數(shù)、反射矩

3、陣、等價類、Lyapunov變換的定義和基本性質(zhì)．?dāng)⑹隽朔瓷浜瘮?shù)與Poincar6映射定理以及根本矩陣．這些概念工具貫穿全文始終． 作為本文的主要部分，我們首先研究了線性微分系統(tǒng)x'=P(t)x具有形如F(t,x)=A(-t)e-2B A-1(t)x形式的反射函數(shù)的充要條件，同時給出了P(t)所具有的形式．我們還給出了以F(t,x)為反射函數(shù)的所有的微分系統(tǒng)類的表達(dá)式，并得出當(dāng)這些微分系統(tǒng)為2ω一周期系統(tǒng)時，其Poincare映

4、射的表達(dá)式和他們的周期解存在的判定準(zhǔn)則，以及其解的幾何性態(tài)的判據(jù)．其次，嘗試將線性微分系統(tǒng)的結(jié)論推廣到小參數(shù)的非線性系統(tǒng)．根據(jù)已有的結(jié)果，借助反射函數(shù)及小參數(shù)擾動方法，討論了當(dāng)ε充分小時帶小參數(shù)的微分系統(tǒng)x1=f(t,X,ε)的周期解的存在唯一性且給出了此周期解趨向于已知多維非線性微分系統(tǒng)周期解的充分條件．特別地，得到了擬線性微分系統(tǒng)及自治小參數(shù)微分系統(tǒng)存在唯一的周期解的判定定理． 最后給出兩個例子驗證了結(jié)論的可行性．