小波框架的理論與應(yīng)用.pdf

1、小波變換是一種時頻局部化或稱為時頻定位的工具，它克服了傅立葉分析方法表示信息時能夠清晰地揭示信號的頻率特性但不能反映時間域上局部信息的缺陷，而局部性質(zhì)的描述無論是理論上還是在實(shí)際應(yīng)用方面都是十分重要的。因此，小波被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。 小波變換包括連續(xù)小波變換和離散小波變換。而離散小波變換的主體部分是關(guān)于小波框架的理論。作為離散小波變換的一種重要組成部分，小波框架己在一些領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用；但還有許多理論基礎(chǔ)、應(yīng)用潛能需要進(jìn)一

2、步完善和開發(fā)。 為了更進(jìn)一步地理解和應(yīng)用小波框架，本文先對小波變換及框架的基本理論進(jìn)行了必要介紹，然后探討和推廣了小波框架的構(gòu)造方法，最后給出了框架在信號消噪方面的應(yīng)用。 本文著重討論L2(R)上小波框架，共分為六章：第一章是緒論，說明了小波框架的思想來源，特點(diǎn)及發(fā)展前景?？蚣芾碚撟畛鮼碓从谛盘柼幚?，1952年，Duffin和Schaffer[1]在研究非調(diào)和傅立葉級數(shù)時提出了Hilbert空間框架的概念，后來Daube

3、chies，Grossman和Meyer把小波變換的理論和框架理論相結(jié)合定義了仿射框架(或稱小波框架)。它的冗余性在信號分析，圖象處理等應(yīng)用領(lǐng)域有著獨(dú)特的優(yōu)勢，有待進(jìn)一步的探索。 第二章介紹了多分辨分析(MRA)和小波。多分辨分析是構(gòu)造和應(yīng)用小波的基礎(chǔ)。隨著多分辨分析的出現(xiàn)，構(gòu)造小波的困難得到了較圓滿的解決。多分辨分析的公式是在實(shí)際應(yīng)用中逐漸產(chǎn)生的，這些實(shí)際應(yīng)用促進(jìn)了小波理論的發(fā)展。以多分辨分析為基礎(chǔ)構(gòu)造出來的小波框架可以有快速

4、穩(wěn)定的分解和重構(gòu)算法。 對稱性，高消失矩，插值性等不同特性的尺度函數(shù)和小波函數(shù)往往可形成”好”的小波系統(tǒng)，盡管這些屬性之間可能有沖突，不能兼得。有不同特性的小波系統(tǒng)在不同的實(shí)際應(yīng)用中有著特定的作用，所以，小波的對稱性，高消失矩，插值性等在小波的研究中占有重要地位，本章也介紹了有這些方面特點(diǎn)的小波的應(yīng)用價值。 第三章綜述了小波框架的基本性質(zhì)。討論了與小波緊框架相聯(lián)系的濾波器組理論。所謂小波框架是指：把一個函數(shù)φ∈L2(R)

5、通過膨脹變換(Duj，a∈R，a≠0，j∈Z)和平移變換(Tkb，b∈R，k∈Z)后，得到的序列如果構(gòu)成L2(R)的框架，則稱{DuiTkbφ}j,k∈Z是L2(R)上的小波框架。上下界相同的小波框架稱為小波緊框架。小波緊框架易于實(shí)現(xiàn)信號的完全重構(gòu)，它的構(gòu)造和應(yīng)用往往與濾波器組相聯(lián)系。小波框架是框架理論中欠發(fā)展的領(lǐng)域，同時它也是最具有應(yīng)用價值的框架之一。一些調(diào)和分析和小波分析的專家，學(xué)者對此進(jìn)行了廣泛深入的的研究，得到不少的結(jié)果。

6、 第四章探討小波框架的構(gòu)造方法，對某些己有的的結(jié)論做了進(jìn)一步的推廣。本章主要以三種方式構(gòu)造小波框架：時域，頻域，框架的攝動。其中頻域中以多分辨分析為基礎(chǔ)利用酉擴(kuò)張原理(UEP)構(gòu)造滿足各種優(yōu)良特性的緊小波框架能保證信號的完全精確重構(gòu)和快速穩(wěn)定的算法。在小波框架的構(gòu)造中占據(jù)著舉足輕重的地位。它是共軛鏡像濾波器組構(gòu)造正交小波的推廣。 第五章研究了小波框架在數(shù)值信號處理中的應(yīng)用。小波框架的冗余可導(dǎo)致魯棒性，意思是說冗余可以在使得低精