含凹凸函數的半線性微分方程解的確切個數.pdf

1、本文研究的方程形如： u"(x)+λf(u(x))=0，-1≤x≤1；u(-1)=u(1)=0. 其中函數f(u(x))的形式在不同問題中不同，例如在研究氣體燃燒的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時，對應函數f(u(x))=eau/u+a，其中a是參數；在研究反應擴散方程時，對應函數，(u(x))；u—au—bu—c，其中a，b，c都是參數；在很多幾何和數學物理分支問題中，對應函數f(u(x))=up+uq，其中p，q都是參數，0

2、.等等.對該類方程解的研究是微分方程學科的重要分支，經分析知方程的解和參數λ取值及函數f(u(x))的性質都有很大關系，本文重點研究的就是當函數f(u)是凹凸類型時對應的方程解的確切個數.經過閱讀大量的相關文獻([1][6]，[13]，[20]，[21]，[38][41]，[43]，[46]，[47])，我們知道方程的確切解個數的確定是個很不容易的問題([8]，[15]，[17]，[24]，[28]，[37]，[43])，目前只有對特殊

3、的函數f(u(x))的一些結論.對上述問題的研究目前采用的方法主要有：Time—map方法和分歧方法兩種.前一種Time—map方法是一種長久以來普遍使用的方法，例如，在Theodore Laetsch，J.Smollerand A.Wasserman.S.—H，Wang，等人的文章中普遍出現(參見文獻([8][15][13][17])等).分歧方法是由TiLi，Tiancheng Ouyang，Jun Ping Shi，Phllip

4、Korman等發(fā)展起來的，它適用于研究Rn內球上的半線性橢圓方程([1][2][5][6][10][24][38][39][40][43]).本論文用Time—map的方法研究一類半線性微分方程的確切解個數問題.解決了當非線性項為兩種不同情形下的微分方程的確切解個數問題，同時解決了用Time—map方法確定解曲線的臨界點處轉向的問題.在高維情形中，證明線性化方程的解為正解是問題的最難點([3][4][38]).在文獻[3]中，作者采用一

5、個重要的恒等式較容易地解決了這個問題，并采用Time—map方法得到確切解的結論.在文獻[4]中作者利用極值原理和一系列巧妙的構造證明了線性化方程的解為正解，并利用變分方法得到了關于方程的確切解個數的一些結論，同時也提出了一些開放式問題，其中之一是對該問題相應一維情形下的解曲線的描述，本論文第三章命題二正是對該問題的較好的解決，本論文其它部分的內容安排：第一章，緒論；第二章，含有超線性凹凸項的半線性微分方程解的結構；第三章，含有超線性次