圖譜理論和幾類矩陣的譜與組合特征研究.pdf

1、特殊矩陣，顧名思義是指具有特殊的結(jié)構(gòu)或性質(zhì)的矩陣.特殊矩陣在計算數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，經(jīng)濟學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，物理學(xué)，生物學(xué)，計算機科學(xué)等諸多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.因此，無論從理論研究方面還是實際應(yīng)用價值方面，特殊矩陣的研究都比一般的矩陣研究更有意義.而圖的譜在理論化學(xué)，物理學(xué)，通信網(wǎng)絡(luò)，信息科學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，近幾十年來它一直是代數(shù)圖論研究的一個重要課題.另外，圖的譜理論也促進和豐富了圖論和組合數(shù)學(xué)本身的研究，已經(jīng)成為組合矩陣?yán)碚撗芯康囊粋€

2、重要的方面.本文主要對非負(fù)矩陣，廣義超度量矩陣，M-矩陣，H-矩陣，P(P0)-矩陣等的組合性質(zhì)進行了深入的研究.同時，也研究了在組合矩陣論中比較熱門的圖的譜估計問題.全文共六章，分四個部分： 借助于廣義超度量矩陣的圖論表示，即根二叉樹結(jié)構(gòu)，研究了廣義超度量矩陣的封閉性質(zhì)，給出了廣義超度量矩陣的Hadamard積，廣義Perron補以及和封閉的充分條件；研究了P0-矩陣的直和，對S.M.Fallat和C.R.Johnson提出的

3、一個問題，給出了肯定的回答. 研究了矩陣的數(shù)值特征.首先給出了滿足一定條件的非負(fù)矩陣的Hadamard積的譜半徑的一個新的上界，利用其結(jié)果研究了M-矩陣的最小特征值的上下界.數(shù)值例子表明，在一些情況下，所得結(jié)果優(yōu)于某些已知的結(jié)果.同時，也給出了M-矩陣Fan積的一個新的下界；其次，借助矩陣的伴隨有向圖，給出了矩陣奇異值的幾個新的包含區(qū)間，簡化和改進了部分已有的著名結(jié)果. 研究了H-矩陣及其子類雙對角占優(yōu)矩陣的對角Schu

4、r補的封閉性質(zhì)，同時也給出了相應(yīng)的特征值的區(qū)域特征；對具有嚴(yán)格對角占優(yōu)系數(shù)矩陣的線性系統(tǒng)，給出了GAOR迭代法的迭代矩陣的譜半徑的新上下界，進而討論了GAOR迭代法的收斂性。并給出了其收斂區(qū)域.數(shù)值例子表明所得結(jié)果優(yōu)于某些已知的結(jié)果. 給出了圖的Laplacian譜，鄰接譜以及距離譜的幾個新的估計式.首先給出了簡單的無向圖的鄰接譜半徑的一個新的上界，利用其結(jié)果得到了混合圖的Laplacian譜半徑的幾個新的上界，理論分析表明所得

5、結(jié)果優(yōu)于某些已知的著名結(jié)果；其次，得到了二部圖的LaLplacian譜半徑的一個新的下界，利用其結(jié)果給出了二部圖的Laplacian特征值的冪和的幾個上下界，并給出了等號成立時的臨界圖，這些結(jié)果改進了一些已知的結(jié)果；再次，利用圖的度平方和的上界和圖的邊密度的概念，得到了圖的代數(shù)連通度的幾個上下界，并討論了等號成立時的臨界圖；另外，給出了加權(quán)圖的鄰接譜半徑的一個新的上界，其結(jié)果推廣了一些已知的結(jié)果；最后，給出了圖的距離矩陣的譜半徑的一個新