關(guān)于具有特殊Blaschke張量的浸入子流形的一些分類(lèi)定理.pdf

1、本文主要研究單位球面中具有某種特定Blaschke張量的無(wú)臍點(diǎn)浸入子流形，共建立了四個(gè)分類(lèi)定理。具體的研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)述如下： 第一章，建立了實(shí)空間形式中具有平行平均曲率和常數(shù)量曲率的無(wú)臍點(diǎn)子流形的一個(gè)M(o)bius刻劃，使得它們?cè)贛(o)bius子流形幾何的意義下完全統(tǒng)一了起來(lái)。定理如下： 定理1.1.3設(shè)x∶M→Sn是一個(gè)無(wú)臍點(diǎn)的浸入子流形.如果x的M(o)bius形式Ф恒等于0，并且存在M上的光滑函數(shù)λ和平行M(o)b

2、ius法向量場(chǎng)ξ，使得Blaschke張量A，M(o)bius第二基本形式B，以及M(o)bius度量g滿(mǎn)足下面的關(guān)系式：A+λg+〈B，ξ〉1≡0，(1.1.21)則λ必為常數(shù)，并且存在T∈O+(n+1，1)使得x和下面的一個(gè)浸入子流形T-等價(jià)： (1)單位球面Sn中具有平行平均曲率向量場(chǎng)和常數(shù)量曲率的浸入子流形x∶M→Sn。 (2)歐氏空間Rn中具有平行平均曲率向量場(chǎng)和常數(shù)量曲率的浸入子流形u∶M→Rn在共形微分同胚

3、σ∶Rn→Sn下的像。 (3)雙曲空間Hn中具有平行平均曲率向量場(chǎng)和常數(shù)量曲率的浸入子流形y∶M→Hn在共形微分同胚τ∶Hn→Sn+下的像。 反之，通過(guò)直接計(jì)算，可以驗(yàn)證上述定理1.1.3中所提到的浸入子流形均滿(mǎn)足定理的條件.因此，上述定理在共形的意義下把這些子流形用其Mobius不變量簡(jiǎn)單地統(tǒng)一了起來(lái)。 定理1.1.3是文獻(xiàn)[1]和[2]中主要定理的推廣。 第二章，借助于文獻(xiàn)[3]中的思想方法，對(duì)單位球

4、面Sm+1具有平行Blaschke張量的浸入超曲面進(jìn)行了完全分類(lèi).在得到這個(gè)分類(lèi)之前，首先構(gòu)造了兩類(lèi)具有平行的Blaschke張量的新例子，其中的一些例子不具有平行的M(o)bius第二基本形式.這是十分有意思的。 主要定理如下： 定理2.1.4設(shè)x∶Mm→Sm+1(m≥2)是無(wú)臍點(diǎn)的浸入超曲面，如果它的Blaschke張量A是平行的，那么下面的情形之一成立： (1)x是M(o)bius迷向的，因而它在局部上Mo

5、bius等價(jià)于： (1a)單位球面Sm+1中具有常數(shù)量曲率的極小浸入超曲面，或 (1b)歐氏空間Rm+1中具有常數(shù)量曲率的極小浸入超曲面在σ下的象，或 (1c)雙曲空間Hm+1中具有常數(shù)量曲率的極小浸入超曲面在τ下的象。 (2)x具有平行的M(o)bius第二基本形式，因而它在局部上Mobius等價(jià)于： (2a)Sm+1中的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)面SK(r)×Sm-K(√1-r2)，其中r＞0，K是正整數(shù)，或

6、 (2b)Rm+1中的標(biāo)準(zhǔn)柱面SK(r)×Rm-K在共形微分同胚σ下的象，其中r＞0，K是正整數(shù)，或 (2c)Hm+1(-1)中的標(biāo)準(zhǔn)柱面SK(r)×Hm-K(-1/1+r2)在共形微分同胚τ下的象，其中r＞0，K是正整數(shù). (2d)例2.2.1中浸入超曲面CSS(p，q，r)，其中p，q，r是常數(shù)。 (3)x既不是M(o)bius迷向的，也不具有平行的M(o)bius第二基本形式.此時(shí)，x在局部上M(o)b

7、ius等價(jià)于： (3a)例子2.2.2給出的極小浸入超曲面，或 (3b)例子2.2.3給出的非極小浸入超曲面。 第三章，著重研究單位球面中具有零M(o)bius形式和常數(shù)Blaschke特征值的無(wú)臍點(diǎn)浸入超曲面。研究的結(jié)果是下面的兩個(gè)分類(lèi)定理： 定理3.1.3設(shè)x∶Mm→Sm+1(m≥2)是無(wú)臍點(diǎn)的浸入超曲面.如果x的M(o)bius形式恒為零，并且具有兩個(gè)不同的常數(shù)Blaschke特征值，則下面的結(jié)論之

8、一成立： (1)x是具有兩個(gè)不同M(o)bius主曲率的M(o)bius等參超曲面，因而在局部上Mobius等價(jià)于： (1a)Sm+1中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)面SK(r)×Sm-K(√1-r2)，其中r＞0，K是正整數(shù)，或 (1b)Rm+1中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)柱面SK(r)×Rm-K在共形微分同胚σ下的像，其中r＞0，K是正整數(shù)，或 (1c)Hm+1中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)柱面SK(r)×Hm-K(-1/1+r2)在共形微分同胚τ下的

9、像，其中r＞0，K是正整數(shù). (2)x在局部上M(o)bius等價(jià)于： (2a)例3.2.1中給出的極小超曲面，或 (2b)例3.2.2中給出的非極小超曲面. 定理3.1.4設(shè)x∶M3→S4是具有零M(o)bius形式的無(wú)臍點(diǎn)浸入超曲面.如果x的Blaschke特征值均為常數(shù)，則下述論斷之一成立： (1)x是M(o)bius迷向的，因而在局部上M(o)bius等價(jià)于： (1a)球面S4中的

10、一個(gè)具有常數(shù)量曲率的極小浸入超曲面x∶M3→S4，或 (1b)歐氏空間R4中的一個(gè)具有常數(shù)量曲率的極小浸入超曲面x∶M3→R4在共形微分同胚σ下的像，或 (1c)雙曲空間H4中的一個(gè)具有常數(shù)量曲率的極小超浸入曲面x∶M3→H4在共形微分同胚τ下的像。 (2)x具有兩個(gè)不同的Blaschke特征值，因而在局部上Mobius等價(jià)于： (2a)S4中的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)面SK(r)×S3-K(√1-r2)，其中r＞0同，K

11、=1，2，或 (2b)R4中的標(biāo)準(zhǔn)柱面SK(r)×R3-K在共形微分同胚σ∶R4→S4下的像，其中r＞0，K=1，2，或 (2c)H4中的標(biāo)準(zhǔn)柱面SK(r)×H3-K(-1/1+r2)在共形微分同胚τ∶H4→S4下的像，其中r＞0，K=1，2，或 (2d)例3.2.1中對(duì)應(yīng)于m=3,K=2的極小浸入超曲面，或 (2f)例3.2.2中對(duì)應(yīng)于m=3,K=2的非極小浸入超曲面。 (3)x具有三個(gè)不同的B