關于（α,β）-度量的一些結果.pdf

1、在Finlser幾何中,(α,β)-度量是包含Randers度量在內的一類重要的Finsler度量.這一類度量具有很強的可計算性,因此我們可以得到很多關于(α,β)-度量的有意思的結果.特別地,對于Randers度量,我們已經得到很多非常清楚的刻畫與分類結果.例如射影平坦的Randers度量,常曲率的Randers度量及Einstein-Randers度量等.然而,對一般的(α,β)-度量的計算卻非常復雜,所以一般地很難得到關于(α,β

2、)-度量的相應結果.本文考慮了Douglas類型的齊性(α,β)-度量以及具有迷向S-曲率的Einstein(α,β)-度量,并得到了一些非常好的結果.
　　第一部分,主要考慮了Douglas類型的齊性(α,β)-度量.通過對Douglas類型的一般的(α,β)-度量的刻畫條件進行分析,本文給出了Douglas類型的齊性(α,β)-度量的完全分類.證明了:如果一個齊性(α,β)-度量是Douglas度量,則它必為Douglas類型

3、的Randers度量或Berwald度量.在此基礎上,利用李理論以及齊性空間的知識,本文進一步給出了局部射影平坦的齊性(α,β)-度量的分類結果.證明了:如果一個齊性流形上的局部射影平坦的齊性(α,β)-度量F,它既不是黎曼度量也不是局部Minkowski度量,則F一定是雙曲空間Hn(作為可解李群)上的一個局部射影平坦的左不變的Randers度量.并且本文給出了這一度量的明確表達形式,還討論了它的曲率性質.這一度量在之前的文獻中都未曾出

4、現過,因此它給出了Hilbert第4問題的一個新的解.
　　第二部分,主要研究了具有迷向S-曲率的Einstein(α,β)-度量.通過在選取的一個特殊坐標系下的復雜計算,本文得到了下面的結果:對一個具有迷向S-曲率的Einstein(α,β)-度量F=αφ(s),s=βα,如果它既不是Randers度量也不是Ricci平坦的Berwald度量,本文給出了刻畫它的一個充要條件.其中包含了一個關于函數φ的一個二階非線性的常微分方程,