實(shí)空間形式中具有平行Blaschke張量的子流形.pdf

1、本文討論實(shí)空間形式中子流形的共形微分幾何，重點(diǎn)是對(duì)具有平行的某種共形不變量的超曲面或子流形進(jìn)行完全的分類.其內(nèi)容可分為兩大部分:一是對(duì)于de Sitter空間中具有平行的仿Blaschke張量的正則類空超曲面進(jìn)行分類;二是對(duì)于球面中具有平行Blaschke張量及消失M(o)bius形式的無臍點(diǎn)子流形的完全分類.得到的主要定理如下:
　　定理0.1（見第一章定理1.3）.設(shè)x:Mm→Sm+11是de Sitter空間Sm+11中的一

2、個(gè)正則類空超曲面，m≥2.如果對(duì)于某個(gè)常數(shù)λ，x相應(yīng)的仿Blaschke張量Dλ是平行的，則x局部共形等價(jià)于下述的超曲面之一:
　　1.Sm+11中的一個(gè)具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的正則類空超曲面;
　　2.Rm+11中的一個(gè)具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的正則類空超曲面在Ψoσ0下的像;
　　3.Hm+11中的一個(gè)具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的正則類空超曲面在Ψoσ-1下的像;
　　4.Sm-k(a)×Hk（-1/a

3、2-1）(∈)Sm+11，a＞1，k=1，…m-1;
　　5.Hk（-1/a2）×Rm-k(∈)Rm+11在Ψoσ0下的像，a＞0，k=1，…m-1;
　　6.Hk（-1/a2）×Hm-k（-1/1-a2）(∈)Hm+11在Ψoσ-1下的像，0＜a＜1，k=1，…m-1;
　　7.超曲面WP(p，q，a)(∈)Qm+11在Ψ下的像，其中p，g，a是確定的常數(shù)（見例3.1）;
　　8.由例3.2給出的一個(gè)正則類空超

4、曲面;
　　9.由例3.3給出的一個(gè)正則類空超曲面.
　　定理0.2（見第一章定理1.9）.設(shè)x:Mm→Sm+p是單位球面Sm+p中的一個(gè)Blaschke平行子流形.如果x具有消失的M(o)bius形式C，則它一定M(o)bius等價(jià)于下述四種浸入子流形之一:
　　(1)一個(gè)具有平行平均曲率向量和常數(shù)量曲率的偽平行無臍點(diǎn)浸入(x):Mm→ Sm+p;
　　(2)一個(gè)具有平行平均曲率向量和常數(shù)量曲率的偽平行無臍點(diǎn)浸

5、入(x):Mm→Rm+p在σ下的像;
　　(3)一個(gè)具有平行平均曲率向量和常數(shù)量曲率的偽平行無臍點(diǎn)浸入(x):Mm→Hm+p在τ下的像;
　　(4)對(duì)于某組參數(shù)m1，p1，r，μ，由例4.2所給出的子流形LS(m1，p1，r，μ)，或?qū)τ谀辰M多重參數(shù)m，p，τ，μ，由例5.2所給出的子流形LS(m，p，τ，μ).
　　本論文共分為五章，具體的結(jié)構(gòu)介紹如下:
　　第一章是緒論部分，分為兩節(jié)，主要介紹本文的研究背景及

6、所得到的具體結(jié)果.
　　第二章是預(yù)備知識(shí)，分為兩節(jié):第一節(jié)介紹Lorentz空間形式中子流形的共形微分幾何，包括基本的共形不變量的定義等;第二節(jié)介紹球面中子流形的M(o)bius幾何，重點(diǎn)是基本的M(o)bius不變量.
　　第三章的目的是完成對(duì)de Sitter空間中具有平行仿Blaschke張量的類空超曲面的分類工作.該章分為兩節(jié):第一節(jié)給出滿足條件的例子;第二節(jié)用于證明定理0.1.
　　第四章和第五章目的是完成對(duì)

7、球面中具有平行Blaschke張量及消失M(o)bius形式的一般子流形的分類工作.其中第四章分為三節(jié)，第五章分為兩節(jié).具體地，第四章針對(duì)兩種特殊的情況進(jìn)行討論:第一節(jié)介紹例子，后兩節(jié)分別證明兩個(gè)分類定理(分別見定理1.6和定理1.7):一個(gè)假設(shè)子流形有兩個(gè)不同的Blaschke特征值，另一個(gè)假設(shè)子流形有三個(gè)不同的Blaschke特征值;第五章則首先在第一節(jié)中給出更一般的例子，然后在第二節(jié)里針對(duì)具有t(≥4)個(gè)不同Blaschke特征值