黎曼流形上的一些曲率問題.pdf

1、完全非線性橢圓和拋物方程及其在微分幾何中的應用已被廣泛研究。本文中我們考慮其在曲率問題中的應用。我們主要研究三個問題，即超曲面的預定曲率問題，完備共形度量的預定曲率問題，帶指數(shù)的高斯曲率流。
　　假設N是一個n+1維黎曼流形，M是其n維子流形.在流形N上給定一個光滑函數(shù)ψ，我們考慮滿足如下條件的嵌入φ:M→Nf(κ)=ψ，這里κ=(κ1，…，κn)是超曲面φ（M）在誘導度量下對應的主曲率，f是一個對稱函數(shù)。超曲面的預定曲率問題引起

2、了數(shù)學工作者的廣泛興趣。大量的文獻考慮N=Rn+1的情況。本文中我們考慮N為黎曼流形的情況。假設N容許一個法高斯坐標系，在一些適當?shù)募僭O下，我們可以對一大類曲率函數(shù)證明滿足預定曲率的閉超曲面的存在性。我們的幾何模型包含了一大類黎曼流形，包括空間形式和一大類乘積流形。
　　假設(M)是一個n維緊致帶邊黎曼流形，記其邊界為(e)M。我們用記號g，Ricg和Rg表示其度量，里奇曲率和數(shù)量曲率。Gursky和Viaclovsky引入了mo

3、dified Schouten張量，記作Aτ。當把黎曼曲率張量分解為共形不變和共形變化兩個部分時，可以看到這個張量會自然的產(chǎn)生于分解過程中。本文考慮如下問題:在共形度量類[g]中，我們尋找一個完備度量(a)使其滿足f(κ)=ψ(V)x∈M=(M)\(e)M，這里ψ是(M)上事先給定的函數(shù)，κ=(k11，…，kn）是Aσ/g的特征值。這個問題等價于求解一個滿足無窮大邊值條件的完全非線性橢圓方程。假設τ＞n-1，我們證明這個問題對一大類曲率

4、函數(shù)f是可解的。特別地，我們也證明每一個光滑緊致帶邊的黎曼流形上都可以存在一個完備度量g，其里奇曲率和數(shù)量曲率滿足det(Ric-Rg)=常數(shù)＞0。
　　在過去幾十年里，許多幾何學家利用拋物方程去研究流形的幾何拓撲結構。比如，Hamilton引入了Ricci流并利用它研究Thurston的幾何化猜想。這個猜想的證明最終被Perelman完成。這是曲率流方向的卓越成就。另一方面，F(xiàn)irey引入了高斯曲率流，用以刻畫翻滾的石頭如何形變