Willmore子流形的幾何剛性與特征值問題研究.pdf

1、本文主要研究了球面中Willmore子流形和extremal子流形的若干幾何剛性問題，證明了薛定諤(Schrodinger)算子特征值的空隙定理，刻畫了球面中extremal超曲面的譜特征。這里的Willmore子流形和extremal子流形是兩類特殊的子流形，它是通過計算某種泛函變分的臨界點得到的。設(shè)M為單位球面Sn+P上的n維浸入子流形，H和S分別為M上的平均曲率和第二基本形式模長的平方.定義泛函：W=∫M(S-nH2)n/2dv，

2、E=∫M(S-nH2)dv.若x：M→Sn+p為泛函W的臨界點，則稱M為Willmore子流形.類似地，若x：M→Sn+p為泛函E的臨界點，則稱M為extremal子流形.Li[Lil，Li3]和Guo[GL]分別研究了泛函W和E的臨界點，并且得到了相應(yīng)的Euler-Lagrange方程。本文第二章主要研究了Willmore子流形的剛性問題.Li在文獻[Lil，Li2，Li3]中對Willmore子流形剛性做了深入研究，并在逐點拼擠(p

3、inching)條件下得到了球面中Willmore子流形的剛性定理.在第二章中，我們運用積分估計和Sobolev不等式等工具證明了球面中Willmore子流形的整體剛性定理。最近，Guo和Li[GL]在逐點拼擠條件下證明了球面中extremal子流形的剛性定理.在第三章中，我們證明了球面中extremal子流形的整體剛性定理，并且對于具有平坦法叢的extremal子流形得到了一個更優(yōu)的剛性定理.Yau[Y1，Y2]曾在截面曲率拼擠條件下

4、證明了關(guān)于球面中極小子流形的剛性定理.受此啟發(fā)，我們分別在截面曲率拼擠條件和Ricci曲率拼擠條件下獲得了兩個關(guān)于球面中extremal子流形的剛性定理。第四章研究了球面中Willmore子流形上薛定諤算子的特征值.早在1968年，Simons[Si]就研究了極小子流形上的拉普拉斯算子的特征值，并得到了一些深刻的結(jié)果.之后，Wu[Wu]獲得了若干更一般的結(jié)果.在本章中，我們估計了球面中Willmore子流形上的薛定諤算子第一特征值的下界