數(shù)量曲率空隙與特征值問題研究.pdf

1、本文主要研究了單位球面內(nèi)極小超曲面的數(shù)量曲率取值空隙和黎曼流形的特征值問題。 設(shè)Mn是單位球面Sn+1中的n維緊致極小超曲面。S表示M第二基本形式模長平方，它是流形上的非負(fù)函數(shù)。1983年，彭家貴和滕楚蓮找到了n≤5情形下S可取值的第二空隙。本文第三節(jié)中證明的定理1將此結(jié)果推進(jìn)到n≤7： 主要定理A：設(shè)Mn是Sn+1中的緊致極小超曲面，n≤7.則存在僅與n有關(guān)的正常數(shù)δ(n)使得當(dāng)n≤S(x)≤n+δ(n)時，S(x)≡

2、n。 對于上述空隙問題，1997年，K.Ogiue和孫華飛曾經(jīng)給出了一個任意n情形的證明，但是他們的證明有本質(zhì)錯誤。本文第四節(jié)摘錄了他們證明的主要步驟，并指出了其中的錯誤，給出了相應(yīng)的反例。 在本文的第五節(jié)中，定理2給出在附加了主曲率限制條件下，存在第二空隙的一個充分條件。 關(guān)于極小子流形的特征值問題，在文獻(xiàn)[29]中已經(jīng)有了許多優(yōu)美的結(jié)果。本文第六節(jié)對一般緊致黎曼流形的特征值做了估計。定理3討論的是一類帶邊子流

3、形的Dirichlet特征值問題，定理4估計了完備單連通且具有非正截面曲率的黎曼流形中的緊致無邊子流形的高階特征值下界，定理5給出了黎曼流形中一小塊緊致帶邊區(qū)域Dirichlet邊值問題的Lieb-Li-Yau型估計： 主要定理B：設(shè)Mn(n≥3)是n維黎曼流形，且KM≤b，RicM≥-(n-1)a，其中a,b＞0。D()M是連通的緊致帶邊區(qū)域。如果D包含在某測地球B(x，R(a，b))之中，其中R(a，b)是僅與a,b有關(guān)的正