應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程

1、應(yīng) 用 隨 機(jī) 過(guò) 程李育強(qiáng) 姚強(qiáng)2020年 9 月1前 言“隨機(jī)過(guò)程” 以介紹若干研究復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的理論、方法與應(yīng)用為主要內(nèi)容, 長(zhǎng)期以來(lái) 作為專(zhuān)業(yè)課程和研究類(lèi)課程在高校若干專(zhuān)業(yè)的高年級(jí)或研究生階段開(kāi)設(shè). 然而, 隨著社會(huì)與 科技的發(fā)展, 越來(lái)越多的學(xué)科意識(shí)到該課程的重要性, 開(kāi)設(shè)該課程的專(zhuān)業(yè)越來(lái)越多, 開(kāi)設(shè)的時(shí) 間也被安排到大學(xué)二、三年級(jí). 在這種背景下, 精選教學(xué)內(nèi)容使其在保留課程特色與精華的 同時(shí)降低學(xué)習(xí)門(mén)檻成為該課程教學(xué)中需要

2、面對(duì)的最大挑戰(zhàn). 這本《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》就是編者 在多年的教學(xué)反思與實(shí)踐基礎(chǔ)上, 參考國(guó)內(nèi)外有關(guān)著作編著而成的.本書(shū)設(shè)定讀者只具有數(shù)學(xué)分析(高等數(shù)學(xué)), 高等代數(shù)(線性代數(shù))和初等概率論(概率論與 數(shù)理統(tǒng)計(jì))等大學(xué)一、二年級(jí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 內(nèi)容著重于隨機(jī)過(guò)程的基本理論和基本方法的介 紹, 注重實(shí)際應(yīng)用. 為了保證本書(shū)的獨(dú)立性與理論體系的相對(duì)完整性，也為了便于讀者自學(xué) 使用, 本書(shū)在內(nèi)容上做了如下的編排.首先, 注重夯實(shí)與強(qiáng)化讀者已有的數(shù)學(xué)基

3、礎(chǔ). 本書(shū)第一章簡(jiǎn)要地回顧了初等概率論的基 本內(nèi)容, 并補(bǔ)充介紹了其中的條件數(shù)學(xué)期望, 分布函數(shù)的特征刻畫(huà)以及隨機(jī)變量的收斂等重、 難點(diǎn)內(nèi)容. 我們還通過(guò)第一章的練習(xí)幫助讀者回顧一些學(xué)習(xí)隨機(jī)過(guò)程所需的數(shù)學(xué)分析(高等 數(shù)學(xué))和高等代數(shù)知識(shí).其次, 注重與初等概率論課程的銜接. 我們?cè)趯?dǎo)入隨機(jī)過(guò)程時(shí)從初等概率論涉及的隨機(jī) 變量序列出發(fā), 以貝努利過(guò)程(獨(dú)立同分布的貝努利隨機(jī)變量序列), 隨機(jī)游動(dòng)(獨(dú)立同分布隨 機(jī)變量的部分和序列), 泊松過(guò)

4、程(獨(dú)立同指數(shù)分布隨機(jī)變量的部分和序列的逆)等具體模型作 為本書(shū)的第二章內(nèi)容, 幫助讀者初步認(rèn)識(shí)和了解隨機(jī)過(guò)程所討論的問(wèn)題、所涉及的思想和方 法以及相關(guān)的應(yīng)用.再次, 注重降低閱讀本書(shū)的數(shù)學(xué)門(mén)檻. 讀者只需在熟練掌握高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)以及初 等概率論知識(shí)基礎(chǔ)上都能順利閱讀與理解本書(shū)介紹的全部?jī)?nèi)容. 為了理論體系的相對(duì)完整, 我們對(duì)那些通常以測(cè)度論或?qū)嵶兒瘮?shù)等大學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)展開(kāi)、但對(duì)理解隨機(jī)過(guò) 程理論和方法所必須的概念和結(jié)論都做

5、了相應(yīng)地改寫(xiě)和注釋.最后, 注重示例說(shuō)明與學(xué)習(xí)效果檢驗(yàn). 本書(shū)配有各類(lèi)示例超過(guò)120個(gè), 幫助讀者理解相關(guān) 的概念、理論與方法. 書(shū)中許多例子具有一定的應(yīng)用背景, 有助于讀者理解如何應(yīng)用隨機(jī)過(guò) 程解決實(shí)際問(wèn)題. 同時(shí), 為了便于讀者檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)效果, 本書(shū)包含練習(xí)超過(guò)200 道并將練 習(xí)分節(jié)設(shè)置. 根據(jù)練習(xí)的難易程度, 我們通過(guò)加*號(hào)對(duì)練習(xí)加以區(qū)分, 讀者可以通過(guò)完成每章 節(jié)后的練習(xí)加深對(duì)課程內(nèi)容的理解(帶*的內(nèi)容與練習(xí), 初學(xué)者可略

6、過(guò)).全書(shū)共七章, 除前面提到的第一、第二章外, 在第三章我們系統(tǒng)地介紹了馬氏鏈的狀態(tài) 分類(lèi)、平穩(wěn)分布、轉(zhuǎn)移概率的極限理論和遍歷性定理. 在第四章我們結(jié)合可逆馬氏鏈、隱馬 氏鏈、分枝過(guò)程等隨機(jī)模型進(jìn)一步展示了馬氏鏈在各個(gè)領(lǐng)域方面的應(yīng)用. 第五章介紹了更新 過(guò)程的有關(guān)概念、方法、極限理論及其應(yīng)用. 第六章圍繞布朗運(yùn)動(dòng), 我們主要介紹了它的定 義與分布、極值與首達(dá)時(shí)的分布以及布朗運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 第七章簡(jiǎn)要地介紹了離散時(shí)間鞅 的相關(guān)理論,

7、包括停時(shí)定理、鞅的不等式以及鞅的極限定理等內(nèi)容. 考慮到平穩(wěn)過(guò)程是時(shí)間 序列的理論基礎(chǔ), 本書(shū)不包含這個(gè)專(zhuān)題. 本書(shū)第四、五、六、七章之間, 除個(gè)別例子與練習(xí) 外, 內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立.依據(jù)編者的經(jīng)驗(yàn), 全部講完本書(shū)內(nèi)容需要54-72學(xué)時(shí). 具體章節(jié)學(xué)時(shí)(含習(xí)題課)安排如下: 第一章6-10學(xué)時(shí); 第二章8-10學(xué)時(shí); 第三章10-14學(xué)時(shí); 第四章6-8學(xué)時(shí); 第五章8-10學(xué)時(shí); 第六 章8-10學(xué)時(shí); 第七章8-10學(xué)時(shí). 對(duì)于更短學(xué)時(shí)

8、的教學(xué), 編者建議在完整介紹前三章基礎(chǔ)上, 根 據(jù)培養(yǎng)目標(biāo), 有選擇地介紹后面四章中的部分章節(jié)內(nèi)容.全書(shū)內(nèi)容由李育強(qiáng)執(zhí)筆, 姚強(qiáng)負(fù)責(zé)其中部分練習(xí)的補(bǔ)充、驗(yàn)算以及全書(shū)最后的統(tǒng)一與 校、審等工作. 本書(shū)初稿在華東師范大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院的統(tǒng)計(jì)學(xué)與金融工程專(zhuān)業(yè)反復(fù)試用過(guò)多次, 收到許多同學(xué)的反饋意見(jiàn). 在此對(duì)這些專(zhuān)業(yè)的同學(xué)表示衷心的感謝.本書(shū)是華東師范大學(xué)2019校精品教材建設(shè)專(zhuān)項(xiàng)的成果. 在教材編寫(xiě)過(guò)程中得到華東師范 大學(xué)教務(wù)處、經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)部以及