隨機(jī)過(guò)程的定義

1、例1(隨機(jī)徘徊)無(wú)限制地拋擲一枚硬幣，并按照每次拋擲結(jié)果是正面或反面，讓一個(gè)粒子從初始位置0點(diǎn)出發(fā)，在直線上分別向右或向左走一步。問(wèn)：拋擲了n次后，粒子恰走到m的概率。事實(shí)上，由于粒子是從初始位置0點(diǎn)出發(fā)的，因此，當(dāng)n＜|m|時(shí)，粒子是不可能走到m的，而“拋擲了n次后，粒子恰走到m”意味著：在n次走動(dòng)中，恰好向左走了2mn?步；而向右走了步此即n次拋擲中恰有次擲得正面；有次擲得反2mn?2mn?2mn?面因此，這就需要m與n同為奇偶數(shù)。

2、所求概率為(當(dāng)n≥|m|且m與n同為奇nmnnC212?偶數(shù)時(shí))，否則概率為0。綜上所述，研究一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，就是要有一個(gè)三元組：(Ω，F(xiàn)，P)，它稱為概率空間，其中Ω是全體可能結(jié)果組成的集合；F是全體可觀測(cè)事件(可以合理地給出概率的事件)組成的事件族；而P應(yīng)該看成一個(gè)整體，而不是單個(gè)概率值，即P是F上定義的一個(gè)取值于[0，1]區(qū)間的函數(shù)。同時(shí)，加法公理應(yīng)該滿足，而且必然事件的概率應(yīng)該為1。隨機(jī)過(guò)程的定義：隨機(jī)過(guò)程的定義：研究對(duì)象是隨時(shí)間

3、演變的隨機(jī)現(xiàn)象。例1隨機(jī)相位正弦波X(t)=Acos(ωtΘ)，t∈(－∞，∞)；Θ～U(0，2π)圖1例2以X(t)表示電話交換臺(tái)在時(shí)間間隔[0，t]內(nèi)接到的呼叫的次數(shù)，是一隨機(jī)過(guò)程。??0??ttXX)(例3獨(dú)立地連續(xù)擲一骰子，設(shè)為第n次獨(dú)立地?cái)S一骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則｛nX｝為一相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列(過(guò)程)，其指標(biāo)集為T＝｛1，2，3，…｝；狀1?nXn態(tài)空間為S＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，

4、l，3，…｝稱為的一條軌道，它表示第1，3，8次擲得“3”點(diǎn)，第2次擲得“2”點(diǎn)，第4次擲得nX“4”點(diǎn)，第5次擲得“6”點(diǎn)，…且此時(shí)有均值為E＝3.5，方差為D()＝nXnXnX注意到Zn與2Xn－1是同分布的，于是???????nkknXSS1012??10?ia顯然，這里的是一列同分布的隨機(jī)變量序列：???21XXP(Xn＝1)＝p，P(Xn＝0)＝1－p(n＝l，2，…)又因?yàn)楦鞔螔仈S是獨(dú)立的，我們有???????????kii

5、niknknnaXPaXaXaXP12211?可見又是相互獨(dú)立的，所以，是一列相互獨(dú)立同分布的序列??1?nXn??1?nXn(簡(jiǎn)記為iid序列)上述這樣的隨機(jī)序列是一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程，稱之為貝努利序列。我們??1?nXn稱的取值范圍S＝｛01｝為隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間對(duì)每一個(gè)固定的nX??1??nXXn，就是一個(gè)取值為“0”或“l(fā)”的無(wú)窮序列，稱之為X的一條軌?????1??nXXn道(或樣本軌道)。X的一條典型的樣本軌道如圖2所示我們

6、稱為隨機(jī)徘隨機(jī)徘??0??nSSn徊，它的一條軌道是一個(gè)取值為整數(shù)的無(wú)窮序列，它的狀態(tài)空間是全體整數(shù)它的與圖2相對(duì)應(yīng)的一條軌道如圖3所示。圖2圖3在例1中，我們已經(jīng)給出了一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布(這里)：nX00?X(q＝l－p，n＝1，2，…)??222knknknnnqpCkXP?????因?yàn)樯厦娴母怕示褪牵簄個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，(i=l，2，…，n)中恰好有??1?iZ個(gè)發(fā)生的概率這是因?yàn)橐竭_(dá)狀態(tài)k，所需的步數(shù)n不可能小于|k|