隨機(jī)過程和隨機(jī)控制在風(fēng)險(xiǎn)理論中的幾點(diǎn)應(yīng)用.pdf

1、保險(xiǎn)數(shù)學(xué)是研究保險(xiǎn)制度數(shù)理基礎(chǔ)的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)，主要研究保險(xiǎn)費(fèi)和義務(wù)儲備金等的價(jià)值，分析再保險(xiǎn)制度、應(yīng)急儲備金，利潤分析和風(fēng)險(xiǎn)論等。風(fēng)險(xiǎn)理論是保險(xiǎn)數(shù)學(xué)中最具理論性的重要組成部分，主要研究來自保險(xiǎn)商業(yè)的各種隨機(jī)模型，其核心內(nèi)容--破產(chǎn)論至今已有百余年的發(fā)展歷史。
　　 無異于其他公司，保險(xiǎn)公司所追求的目標(biāo)有二：一是降低風(fēng)險(xiǎn)；一是提高收益。風(fēng)險(xiǎn)理論的研究自然也就圍繞這兩點(diǎn)內(nèi)容展開：一方面，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)可以用一些精算量來刻畫，如破

2、產(chǎn)概率、破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)時(shí)赤字等等，最初的風(fēng)險(xiǎn)理論主要集中在對這些精算量的研究，為了降低風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司通常采取諸如再保險(xiǎn)、投資金融市場等措施；另一方面，在降低風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，保險(xiǎn)公司還關(guān)心其收益，衡量保險(xiǎn)公司收益的最具代表性的量就是破產(chǎn)前總的分紅量(所謂分紅即公司分配給股東或初始準(zhǔn)備金提供者的部分盈余)。
　　 本文即致力于這兩方面的研究，主要討論了復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型幾個(gè)精算量的聯(lián)合分布、復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)嚴(yán)重程度的一些度

3、量、帶借貸利率的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和主動破產(chǎn)界、二維復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和動態(tài)比例再保險(xiǎn)等問題。具體內(nèi)容如下：
　　 第一章是緒論，簡要介紹本文涉及的風(fēng)險(xiǎn)模型--復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型、帶借貸利率的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型、二維復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型；概述相關(guān)問題的提出背景及研究現(xiàn)狀。
　　 第二章研究復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型多維精算量的聯(lián)合分布。通過定義此風(fēng)險(xiǎn)模型的上穿零點(diǎn)序列，引入此缺陷(d

4、efective)更新序列的更新質(zhì)量函數(shù)，并得到其明確表達(dá)式。再由更新質(zhì)量函數(shù)及強(qiáng)馬氏性，得到了該模型破產(chǎn)概率及多維精算量(包括破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)時(shí)赤字、破產(chǎn)到恢復(fù)最大赤字及全局最大赤字等)的聯(lián)合分布。并且給出了當(dāng)索賠額服從幾何分布時(shí)的明確表達(dá)式。
　　 鑒于出現(xiàn)赤字并不一定導(dǎo)致保險(xiǎn)公司停止經(jīng)營活動，恢復(fù)的可能性不僅依賴于破產(chǎn)時(shí)的赤字多少，還取決于保險(xiǎn)公司在接下來的赤字狀態(tài)下還能承受的索賠量及赤字狀態(tài)所持續(xù)的時(shí)間。這些破

5、產(chǎn)嚴(yán)重程度的度量自然成為保險(xiǎn)公司決定是否繼續(xù)經(jīng)營下去的基本原則。第三章給出了復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的幾個(gè)破產(chǎn)嚴(yán)重程度的度量，其中包括第一次破產(chǎn)到恢復(fù)間的最大赤字、第一次破產(chǎn)到恢復(fù)間的總損失、每次破產(chǎn)都繼續(xù)運(yùn)營的前提下全局總的赤字時(shí)間及總的損失。另外，作為例子還給出了索賠額服從幾何分布時(shí)，這些破產(chǎn)嚴(yán)重程度的度量的明確表達(dá)式。
　　 第四章考慮的是帶借貸利率的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和一個(gè)新的破產(chǎn)界--主動破產(chǎn)界的問題。正如D

6、ickson& Waters(2004)所闡述的，股東們既然從公司拿了分紅，那么當(dāng)公司破產(chǎn)的時(shí)候，他們當(dāng)然就有責(zé)任承擔(dān)破產(chǎn)時(shí)的赤字。因此，本章所及分紅問題是最大化破產(chǎn)前的累積折現(xiàn)分紅量與破產(chǎn)時(shí)的赤字的折現(xiàn)值之差的數(shù)學(xué)期望。在這種差值的計(jì)算方式下，若將破產(chǎn)取為原有的絕對破產(chǎn)，那么在破產(chǎn)界的一個(gè)臨域內(nèi)其值為負(fù)，所以在這種情況下，保險(xiǎn)公司會在余額達(dá)到絕對破產(chǎn)界之上的某個(gè)界限時(shí)就宣布破產(chǎn)，以保證其不會出現(xiàn)入不敷出的尷尬局面。找到的這個(gè)新的界限即

7、定義為主動破產(chǎn)界。另外，還給出了指數(shù)索賠下的明確表達(dá)式。
　　 隨著風(fēng)險(xiǎn)理論的發(fā)展，一維風(fēng)險(xiǎn)模型對較復(fù)雜的保險(xiǎn)不能進(jìn)行模擬，例如，在交通事故中，可能因意外而引起人身保險(xiǎn)的索賠發(fā)生，同時(shí)也可能因碰撞而產(chǎn)生車險(xiǎn)的索賠發(fā)生。在現(xiàn)實(shí)生活中，諸如此類的情況還很多，與保險(xiǎn)事業(yè)息息相關(guān)。為了打破一維風(fēng)險(xiǎn)模型的局限性，高維相依風(fēng)險(xiǎn)模型應(yīng)運(yùn)而生。第五章以二維復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型為例，利用動態(tài)控制理論討論了使其取得最大累積折現(xiàn)分紅值的最優(yōu)分紅