隨機方程及其在信用風(fēng)險中的應(yīng)用.pdf

1、本文分五個部分來研究反射隨機微分方程，隨機偏微分方程以及它們在信用風(fēng)險理論中的應(yīng)用.
　　 本文第一章1.1節(jié)將延續(xù)這方面的研究.與現(xiàn)有文獻(xiàn)的不同之處在于，我們考慮在Fang和Zhang[70]的非李普希茲條件下，其強解的存在唯—性.特別地，在一維情形下，我們結(jié)合Fang和Zhang[70]非李普希茲條件的特點以及局部時的性質(zhì)證明了一個強比較定理.由于反射隨機微分方程的解能被限制在某些特定的凸區(qū)域上，這個特點使這類方程在排隊論、

2、金融建模中有重要應(yīng)用.其中Harrison[81]用雙邊反射布朗運動建立了存儲模型，隨后Ata，Harrison和Shepp[6]用雙邊反射O－U過程描述了布朗網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題.Goldstein和Keirstead[75]用零點單邊反射隨機微分方程建模瞬時利率過程，并導(dǎo)出了當(dāng)利率過程建模為反射布朗運動和反射O－U過程時其衍生產(chǎn)品價格的閉形式解.Ward和Glynn[171]證明了帶拒絕的無限容量的離散排隊系統(tǒng)能擴散逼近到一維單邊反射O—U

3、過程.進(jìn)一步單邊反射O－U過程的性質(zhì)被接下來的文章Ward and Glynn[172]導(dǎo)出.受Ward和Glynn[171]極限結(jié)果的啟發(fā)，如果研究的離散排隊系統(tǒng)是有限容量的，那么其擴散逼近的極限能被描述為一個一維雙邊反射O－U過程.在第一章1.2節(jié)，我們導(dǎo)出雙邊反射O－U過程首中時的拉普拉斯變換.應(yīng)用這個變換，我們很容易獲得首中時矩的解析表達(dá)式。這為以后研究系統(tǒng)的參數(shù)估計和遍歷性提供了依據(jù).接下來，我們考慮一類廣義零均值回歸雙邊反射

4、O－U過程.其強解的積分泛函的拉普拉斯變換在第1.2.3節(jié)中被證明.進(jìn)一步在1.2.4節(jié)，我們將這個結(jié)果應(yīng)用到違約風(fēng)險和數(shù)字期權(quán)的定價中.在第1.3節(jié)，我們考慮擾動反射擴散過程的軌道大偏差原理.所謂擾動反射擴散過程是指在反射擴散過程的基礎(chǔ)上再以其最大值過程作為擾動，其背景和強解的存在唯一性見Doney和Zhang[62].在大偏差原理的證明中，難點是在證明一致Freidlin－Ventzell估計時，對最大值擾動過程的估計.在最后的1.

5、4節(jié)，我們研究在局部風(fēng)險最小的約束下，關(guān)于帶有回復(fù)和分紅可違約未定權(quán)益的對沖方案.與現(xiàn)有文獻(xiàn)的不同點在于我們引入了分紅和鞅不變性假設(shè).因此在對沖方案的證明中我們需要引入類似于Belanger，Shreve和Wong[27]采用的過濾.
　　 在第二章，我們考慮帶有可違約風(fēng)險債券的最優(yōu)投資組合問題.關(guān)于無違約風(fēng)險的最優(yōu)投資組合問題的開創(chuàng)性工作始于Merton[119，120].近期對帶有可違約風(fēng)險的最優(yōu)投資組合和對沖引起了廣泛關(guān)注

6、[19，18，20，21，84，92，100].對于可違約市場建模，目前最為流行且易操作的方法是基于強度的簡約形式，即用一個已知的非負(fù)擴散過程直接建模違約停時的條件生存過程(見附錄A的簡約框架的定義).這種形式是不同于另外一種所謂結(jié)構(gòu)建模的方法.另外一方面，在關(guān)于可違約風(fēng)險債券的最優(yōu)投資組合研究的文獻(xiàn)中，Jang[92]和Bielecki與Jang[20]提出了一個基于常值違約強度和風(fēng)險溢價的可違約零付息債券價格動力學(xué)，并通過最大化期望

7、終止財富HARA效用建立了一個關(guān)于零付息可違約債券，無違約風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險債券的最優(yōu)資產(chǎn)分配方案.在常值違約強度和風(fēng)險溢價的假設(shè)下，最優(yōu)投資分配比例和對應(yīng)的值函數(shù)都具有解析形式.然而在實際情形下，違約強度和風(fēng)險溢價是隨時間隨機波動而并非固定不變(見Pham[44]對無違約情形相關(guān)問題的討論).基于這個觀察，我們在第1，2節(jié)分別討論在對數(shù)和非對數(shù)效用下，當(dāng)違約強度和風(fēng)險溢價均依賴于一個共同的隨機因子(用擴散過程來描述)時，關(guān)于零付息可違約

8、債券，無違約風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險債券的最優(yōu)投資組合問題.相比于Jang[92]和Bielecki與Jang[20]的結(jié)果，我們?nèi)匀荒艿玫阶顑?yōu)分配比例的閉形式.盡管相對應(yīng)的HJB方程不具有解析解，但我們可以通過偏微分方程的上下解方法獲得HJB方程經(jīng)典解的上下函數(shù)界.這同時為我們證明驗證定理提供了方便.如果我們進(jìn)一步放寬假設(shè)，那么HJB方程可能連經(jīng)典解都不存在.一個可行的方法是定義HJB方程的粘滯解.我們可以證明值函數(shù)就是一個粘滯解.然而粘滯解

9、是比較弱的一種解，因此其唯一性較難證明.第3節(jié)將采用粘滯解方法來討論在一般情形下，當(dāng)違約強度和風(fēng)險溢價均依賴于一個共同的隨機因子時帶有可違約風(fēng)險的最優(yōu)投資組合問題.其中我們應(yīng)用Belanger，Shreve和Wong[27]提出的違約債券定價公式導(dǎo)出在物理測度下的零付息可違約債券的價格動力學(xué).注意到我們得到的狀態(tài)(財富)方程是帶跳且反射在零點.這啟發(fā)我們將Atar，Budhiraja和William[7]與Benth，Karlsen和R

10、eikvam[16]的方法結(jié)合起來證明我們的HJB方程粘滯解的唯一性.
　　 第三章的內(nèi)容集中在對兩類高階拋物型隨機偏微分方程的研究.我們考慮的對象是非高斯噪聲擾動的隨機Chan-Hilliard和Kuramoto-Sivashinsky偏微分方程.確定性的Cahn-Hilliard方程描述了一些重要的兩相位系統(tǒng)的定性特征，例如當(dāng)研究材料快速冷卻時顯示的一種快速分離的相位系統(tǒng).近年來，這個方程在材料科學(xué)的研究中變得越來越重要.然

11、而，在實際研究中相位系統(tǒng)的進(jìn)化往往是不確定性的.因此用隨機噪聲擾動的Cahn-Hilliard方程更能確切描述相位系統(tǒng)的進(jìn)化過程.由高斯噪聲驅(qū)動的Cahn-Hilliard方程首先由Da Prato和Debussche[53]和Cardon—Weber[35.36]所研究.這里，我們區(qū)別于現(xiàn)有文獻(xiàn)考慮非高斯擾動的Cahn—HiNiard方程，而Kuramoto-Sivashinsky方程描述的是物理學(xué)中模擬電磁場的運動變化.在第3.1節(jié)

12、，我們證明由Levy時空白噪聲驅(qū)動的Calm—Hilliard方程局部mild解的存在唯一性.一個需克服的困難是傳統(tǒng)的Burkholder-Davis-Gundy不等式并不適用于帶跳的Cahn-Hilliard方程.因此我們引入一個改進(jìn)的Burkholder-Davis-Gundy不等式[101].第3.2節(jié)將延續(xù)考慮分式噪聲擾動的Cahn—Hilliard方程.由于Cahn—Hilliard方程的非線性，我們采用一種弱收斂方法來證明其

13、全局mild解的存在唯—性.這種方法需要證明截斷解的胎緊性，因此需要相對應(yīng)格林核的一類新的估計.此部分估計已經(jīng)被我們證明并被安排在附錄B中.結(jié)合格林核的估計，我們在第3.3節(jié)證明高斯噪聲驅(qū)動的Cahn-Hilliard方程全局mild解的Stroock—Varadhan特征支撐定理.仍由于方程的非線性導(dǎo)致我們需要引入一個局部化方法[37].其中各種格林核的相關(guān)卷積函數(shù)的正則性被證明.在第3.4節(jié)，我們分別考慮在Ito和Skorokhod

14、積分意義下的四階高斯空間修正噪聲和分式(可視為時間修正的高斯)噪聲擾動的隨機Anderson模型，證明解的正則性并估計其Lyapunov指數(shù).在這一章最后，我們證明由Poisson隨機測度驅(qū)動的非局部Kuramoto-Sivashinsky方程全局弱解的存在唯一性.進(jìn)一步，我們證明其解生成半群的Feller性進(jìn)而應(yīng)用Krylov—Bogoliubov定理證明在一些“穩(wěn)定”條件下該半群不變測度的存在性以及支撐性質(zhì).
　　 平行于第

15、三章的研究內(nèi)容，我們在第四章考慮隨機波動方程.目前確定性(強)衰減半線性雙曲方程已經(jīng)被廣泛研究.一個重要主題是解的爆炸性，也就是解是否在有限時間內(nèi)成為無窮.然而隨機版雙曲方程解的爆炸性研究好像非常困難.不過在第4.1節(jié)我們給出了Q－維納過程擾動的(強)衰減半線性波動方程mild解以正概率在有限時間爆炸或其平方矩在有限時間爆炸的充分條件.在證明過程中關(guān)鍵是構(gòu)造合適的能量函數(shù).在最后兩節(jié)，我們集中考慮純跳的隨機波動方程.目前現(xiàn)有文獻(xiàn)好像還沒

16、有這方面的研究工作.在第4.2節(jié)，我們引入由Poisson隨機測度驅(qū)動的衰減半線性波動方程，通過構(gòu)造合適Lyapunov泛函(能量)，運用弱收斂方法分別證明其全局弱、強解的存在唯—性.隨后我們證明其解的Markov性，進(jìn)而證明解半群的Feller性.基于以上結(jié)果，我們?nèi)詰?yīng)用Krylov—Bogoliubov定理證明解半群不變測度的存在性和支撐性質(zhì).在第4.3節(jié)我們延續(xù)考慮Levy(非高斯)過程驅(qū)動的隨機波動方程.關(guān)于解的存在唯—性的證明

17、，我們基于Levy過程跳的如下性質(zhì)：對于只有小跳的Levy過程是一個鞅且具有任意階矩，而Levy過程發(fā)生大跳的時間是可以從小到大依次排列.由于一般的非高斯Levy過程的高階矩不一定存在(例如α-穩(wěn)定過程)，因此在討論不變測度時我們把漂移和跳系數(shù)限定在某一個函數(shù)類中.這樣在合適的‘穩(wěn)定’性假設(shè)條件下，我們證明解半群的不變測度是存在唯一性的.
　　 在最后一章，我們提出一個關(guān)于空間白噪聲驅(qū)動的帶有齊次Dirichlet邊界條件的一類

18、二或三維橢圓隨機偏微分方程間斷(不連續(xù))有限元數(shù)值方法.建立了這種方法的L0范數(shù)誤差估計.一個維數(shù)為d=2的數(shù)值測試驗證了這種數(shù)值方案是可行有效的.另外一方面，間斷有限元方法已被廣泛應(yīng)用到確定性非線性雙曲方程和對流占優(yōu)問題當(dāng)中，特別地已被證明在處理純橢圓型方程時是非常有效的.這一章我們采用Cockburn和Shu[47]提出來的間斷有限元的一種變形，這種方案提供了高精度的逼近，并且是局部守恒和局部高階的.這類不連續(xù)數(shù)值方案被應(yīng)用到隨機橢